Площадь ромба (задачи на клетчатой бумаге). Готовимся к егэ по математике. Геометрия. Урок 6

Напомним, что ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $\displaystyle S=\frac{d_{1}d_{2}}{2}.$

На рисунке 1 приведены чертежи некоторых ромбов, у которых показаны диагонали.
Обратите внимание, площади ромбов для рисунков В и D легко посчитать по этой формуле, а для рисунков А и С сначала придётся вычислить длины диагоналей. Например, для рисунка А длины диагоналей вычислим по теореме Пифагора: $\displaystyle d_{1}=d_{2}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10},\; S_{A}=\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}{2}=5.$
На рисунках B и D диагонали каждого из ромбов проходят по линиям клеток, считаем их длину по рисунку. Диагонали ромба В равны 6 и 4, диагонали ромба D равны 2 и 4. Найдём их площади. $\displaystyle S_{B}=\frac{6\cdot 4}{2}=12,\; S_{D}=\frac{2\cdot 4}{2}=4.$
Задача 1. Найдите площадь ромба на рисунке С (см. рис. 1).
Решение.
1-й способ.
Диагонали находим как гипотенузы прямоугольных треугольников АСВ и МРК по теореме Пифагора (см. рис. 2).

Диагональ $\displaystyle AC=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32},\; MP=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}.$ Площадь ромба $\displaystyle S=\frac{\sqrt{8}\cdot \sqrt{32}}{2}=8.$
Ответ: 8.
2-й способ.
Достроим ромб $AMCP$ до квадрата $ATCB$ (см. рис. 3).

Чтобы найти площадь ромба, нужно из площади квадрата $ATCB$, которая составляет 16 клеток, вычесть площадь четырёх треугольников с катетами 1 и 3 и площадью 1,5 и двух квадратов со стороной 1 и площадью 1. Тогда площадь ромба равна $\displaystyle 16-(1,5\cdot 4+1\cdot 2)=8.$
Ответ: 8.