Координаты вектора. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 10

Пусть точки A и B имеют координаты \displaystyle A(x_{A};y_{A}),\; B(x_{B};y_{B}).
Координаты вектора \displaystyle \overrightarrow{AB} вычисляются по формуле
\displaystyle x=x_{B}-x_{A},\; y=y_{B}-y_{A}.
Длина вектора, или модуль вектора \displaystyle \overrightarrow{AB}\left \{ x;y \right \}:
\displaystyle \left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.


Заметим, что если ввести координатные векторы i и j так, что длины этих векторов равны 1, а направление вектора \displaystyle \vec{i} совпадает с направлением оси Ox, вектора \displaystyle \vec{j} — оси Oy, то любой вектор \displaystyle \vec{a} на координатной плоскости можно представить в виде разложения \displaystyle \vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}, где числа x, y называют координатами вектора \displaystyle \vec{a}. Обычно записывают \displaystyle \vec{a}\left \{ x;y \right \} или \displaystyle \vec{a}(x;y).
Координаты суммы и разности векторов \displaystyle \vec{a}\left \{ x_{a};y_{a} \right \} и \displaystyle \vec{b}\left \{ x_{b};y_{b} \right \}:
\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\vec{c}\left \{ x_{c};y_{c} \right \},\; x_{c}=x_{a}+x_{b},\; y_{c}=y_{a}+y_{b}.
\displaystyle \vec{a}-\vec{b}=\vec{p}\left \{ x_{p};y_{p} \right \},\; x_{p}=x_{a}-x_{b},\; y_{p}=y_{a}-y_{b}.
Для параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны и параллельны. Например, для параллелограмма ABCD (см. рис. 1) \displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, так как AB = CD и AB || CD.
vec_014

Рис.1.

Диагонали параллелограмма пересекаются в середине диагоналей, поэтому \displaystyle \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}, \displaystyle \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD} (см. рис. 2).
vec_016

Рис.2.

Скалярное произведение векторов \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot cos\alpha, где \displaystyle \alpha — угол между векторами \displaystyle \vec{a} и \displaystyle \vec{b}.
Если векторы заданы координатами \displaystyle \vec{a}\left \{ x_{a};y_{a} \right \},\; \vec{b}\left \{ x_{b};y_{b} \right \}, то \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}.
Задача 1. Найдите длину вектора \displaystyle \vec{a}\left \{ 5;-12 \right \} (см. рис. 3).
vec_018

Рис.3.

Решение.
\displaystyle \left | \vec{a} \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{5^{3}+(-12)^{2}}=13.
Ответ: 13.
Задача 2. Точки \displaystyle A(-1;-2),\; B(4;-1),\; C(6;5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки D (см. рис. 4).
vec_020

Рис.4.

Решение.
Стороны параллелограмма AD||BC и AD = BC, поэтому \displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. Найдём ординаты векторов \displaystyle \overrightarrow{AD} и \displaystyle \overrightarrow{BC}. \displaystyle y_{D}-y_{A}=y_{C}-y_{B},\; y_{D}-(-2)=5-(-1),\; y_{D}=6-2=4.
Ответ: 4.
Задача 3. Стороны правильного треугольника MKN равны 10 (см. рис. 5). Найдите скалярное произведение векторов \displaystyle \overrightarrow{KN} и \displaystyle \overrightarrow{KM}.

vec_022

Рис.5.

Решение.
Скалярное произведение векторов вычисляют по формуле \displaystyle \overrightarrow{KN}\cdot \overrightarrow{KM}=\left | \overrightarrow{KN} \right |\cdot \left | \overrightarrow{KM} \right |\cdot cos\alpha, где \displaystyle \alpha — угол между векторами. В правильном \displaystyle \bigtriangleup MKN углы равны по 60°, поэтому \displaystyle \overrightarrow{KN}\cdot \overrightarrow{KM}=10\cdot 10\cdot cos60^{\circ}=100\cdot 0,5=50.
Ответ: 50.
Задача 4. Найдите сумму координат вектора \displaystyle \vec{a}-\vec{b} (см. рис. 6).
vec_024

Рис.6.

Решение.
Найдём координаты вектора \displaystyle \vec{a}. Он выходит из начала координат, поэтому его координаты равны координатам его конца: \displaystyle \vec{a}\left \{ 2;3 \right \}. Аналогично \displaystyle \vec{b}\left \{ 6;4 \right \}.
\displaystyle \vec{a}-\vec{b} имеет координаты {2 — 6; 3 — 4}, то есть {—4; —1}. Сумма координат —4 + (—1) = —5.
Ответ: —5.
Задача 5. Найдите квадрат длины вектора \displaystyle \vec{a}+\vec{b} (см. рис. 6).
Решение.
\displaystyle \vec{a}\left \{ 2;3 \right \},\; \vec{b}\left \{ 6;4 \right \}. Тогда \displaystyle \vec{a}+\vec{b} имеет координаты {2 + 6; 3 + 4} или {8; 7}.
\displaystyle \left | \vec{a}+\vec{b} \right |^{2}=8^{2}+7^{2}=64+49=113.
Ответ: 113.
Задача 6. Найдите скалярное произведение векторов \displaystyle \vec{a} и \displaystyle \vec{b} (см. рис. 6).
Решение.
\displaystyle \vec{a}\left \{ 2;3 \right \},\; \vec{b}\left \{ 6;4 \right \}. Тогда \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}=2\cdot 6+3\cdot 4=24.
Ответ: 24.
Задача 7. ННайдите угол между векторами а и Ь (см. рис. 7). Ответ выразите в градусах.
vec_026

Рис.7.

Решение.
\displaystyle \vec{a}\left \{ 3;1 \right \},\; \vec{b}\left \{ 1;-3 \right \}.
Тогда \displaystyle cos\alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{3\cdot 1+1\cdot (-3)}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=0.
\displaystyle \alpha =90^{\circ}.
Ответ: 90.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×