Уравнения. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 21

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную, значение которой надо найти.
Корень уравнения — это значение неизвестной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что данное уравнение корней не имеет.


Так, уравнение \displaystyle 3\cdot x=6 имеет корень \displaystyle x=2, поскольку \displaystyle 3\cdot 2=6 — верное равенство. При этом других корней нет.
Основные правила, с помощью которых можно решить уравнение:
• к обеим частям уравнения можно прибавлять одно и то же число или выражение;
• из обеих частей уравнения можно вычитать одно и то же число или выражение;
• можно переносить слагаемое из одной части уравнения в другую, при этом данное слагаемое меняет свой знак на противоположный;
• обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Пример 1. Решите уравнение \displaystyle 4\cdot (x+5)=-16.
Решение.
Разделим обе части уравнения на 4.
\displaystyle x+5=-16:4,
\displaystyle x+5=-4,
\displaystyle x=-4-5,
\displaystyle x=-9.
Ответ: —9.
Пример 2. Решите уравнение \displaystyle 6x-12=5x+4.
Решение.
Перенесём 5x из правой части в левую, изменив знак на противоположный:
\displaystyle 6x-5x-12=4,
\displaystyle x-12=4.
Перенесём (—12) из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:
\displaystyle x=4+12,
\displaystyle x=16.
Ответ: 16.
Пример 3. Решите уравнение \displaystyle \frac{x+7}{3}=\frac{2x-3}{5}.
Решение.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому
\displaystyle 5(x+7)=3(2x-3),
\displaystyle 5x+35=6x-9,
\displaystyle 5x-6x=-35-9,
\displaystyle -x=-44,
\displaystyle x=44.
Ответ: 44.
Равенство произведения нулю.
Произведение равно нулю, если
• хотя бы один из сомножителей равен нулю;
• все другие множители при этом имеют смысл.
Например, произведение \displaystyle (x-3)^{2}\cdot \frac{x}{x-3} равно нулю только при \displaystyle x=0, т. к. при \displaystyle x=3 множитель \displaystyle \frac{x}{x-3} не имеет смысла.
Пример 4. Найдите корни уравнения \displaystyle (x-7)(x+8)=0.
Решение.
\displaystyle (x-7)(x+8)=0,
\displaystyle x-7=0 или \displaystyle x+8=0,
\displaystyle x_{1}=7,     \displaystyle x_{2}=-8.
Ответ: -8; 7.
Пример 5. Найдите корни уравнения \displaystyle \sqrt{x-8}(x+11)=0.
Решение.
\displaystyle \sqrt{x-8}(x+11)=0.
\displaystyle \sqrt{x-8}=0 или \displaystyle x+11=0,
\displaystyle x-8=0,    
\displaystyle x_{1}=8,     \displaystyle x_{2}=-11.
При \displaystyle x_{2}=-11 множитель \displaystyle \sqrt{x-8} не имеет смысла, так как подкоренное выражение —11 — 8 = —19 < 0. Поэтому заданное уравнение имеет один корень x=8. Ответ: 8.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×