Уравнения. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 21

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную, значение которой надо найти.
Корень уравнения — это значение неизвестной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что данное уравнение корней не имеет.
Так, уравнение $\displaystyle 3\cdot x=6$ имеет корень $\displaystyle x=2$, поскольку $\displaystyle 3\cdot 2=6$ — верное равенство. При этом других корней нет.
Основные правила, с помощью которых можно решить уравнение:
• к обеим частям уравнения можно прибавлять одно и то же число или выражение;
• из обеих частей уравнения можно вычитать одно и то же число или выражение;
• можно переносить слагаемое из одной части уравнения в другую, при этом данное слагаемое меняет свой знак на противоположный;
• обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Пример 1. Решите уравнение $\displaystyle 4\cdot (x+5)=-16$.
Решение.
Разделим обе части уравнения на 4.
$\displaystyle x+5=-16:4$,
$\displaystyle x+5=-4$,
$\displaystyle x=-4-5,$
$\displaystyle x=-9.$
Ответ: —9.
Пример 2. Решите уравнение $\displaystyle 6x-12=5x+4$.
Решение.
Перенесём $5x$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный:
$\displaystyle 6x-5x-12=4,$
$\displaystyle x-12=4.$
Перенесём (—12) из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:
$\displaystyle x=4+12,$
$\displaystyle x=16.$
Ответ: 16.
Пример 3. Решите уравнение $\displaystyle \frac{x+7}{3}=\frac{2x-3}{5}$.
Решение.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому
$\displaystyle 5(x+7)=3(2x-3)$,
$\displaystyle 5x+35=6x-9,$
$\displaystyle 5x-6x=-35-9,$
$\displaystyle -x=-44,$
$\displaystyle x=44.$
Ответ: 44.
Равенство произведения нулю.
Произведение равно нулю, если
• хотя бы один из сомножителей равен нулю;
• все другие множители при этом имеют смысл.
Например, произведение $\displaystyle (x-3)^{2}\cdot \frac{x}{x-3}$ равно нулю только при $\displaystyle x=0$, т. к. при $\displaystyle x=3$ множитель $\displaystyle \frac{x}{x-3}$ не имеет смысла.
Пример 4. Найдите корни уравнения $\displaystyle (x-7)(x+8)=0$.
Решение.
$\displaystyle (x-7)(x+8)=0$,
$\displaystyle x-7=0$ или $\displaystyle x+8=0$,
$\displaystyle x_{1}=7,$     $\displaystyle x_{2}=-8.$
Ответ: -8; 7.
Пример 5. Найдите корни уравнения $\displaystyle \sqrt{x-8}(x+11)=0.$
Решение.
$\displaystyle \sqrt{x-8}(x+11)=0.$
$\displaystyle \sqrt{x-8}=0$ или $\displaystyle x+11=0,$
$\displaystyle x-8=0,$    
$\displaystyle x_{1}=8,$     $\displaystyle x_{2}=-11.$
При $\displaystyle x_{2}=-11$ множитель $\displaystyle \sqrt{x-8}$ не имеет смысла, так как подкоренное выражение —11 — 8 = —19 < 0. Поэтому заданное уравнение имеет один корень $x=8$. Ответ: 8.