Тождества. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 20

Тождество — равенство, справедливое при любых допустимых значениях входящих в него переменных.
Например, тождествами являются равенства
$\displaystyle x^{2}-4=(x+2)(x-2);\; \frac{a+b}{a^{2}+2ab+b^{2}}=\frac{1}{a+b}.$
С тождеством можно выполнять равносильные преобразования: прибавлять одно и то же число (или выражение) к обеим частям, вычитать из обеих частей одно и то же число (или выражение), умножать или делить обе части на одно и то же ненулевое число (или выражение).
Например, из формулы площади параллелограмма $\displaystyle S=ah$ (где $a$ — основание, $h$ — высота) можно выразить высоту $h$, разделив обе части равенства на длину основания $a$: $\displaystyle h=\frac{S}{a}$.
Пусть величины в обеих частях равенства неотрицательны. Тогда равносильными будут ещё два преобразования: возведение в квадрат обеих частей равенства и извлечение квадратного корня из обеих частей равенства.
Например, из формулы площади квадрата $\displaystyle S=a^{2}$ можно выразить длину а его стороны: $\displaystyle \sqrt{S}=\sqrt{a^{2}}$, откуда $\displaystyle a=\sqrt{S}$.
При применении равносильных преобразований к тождественному равенству мы снова получаем тождественное равенство.

Пример 1. Определите, какое из приведённых ниже выражений тождественно равно выражению $\displaystyle (a-b)(2-c)$.
1) $\displaystyle -(b-a)(c-2)$;
2) $\displaystyle (2-c)(b-a)$;
3) $\displaystyle (c-2)(b-a)$;
4) $\displaystyle -(a+b)(2+c)$.
Решение.
Определим, какие из указанных выражений можно преобразовать к виду $\displaystyle (a-b)(2-c)$.
1) $\displaystyle -(b-a)(c-2)=(a-b)(c-2)\neq (a-b)(2-c);$
2) $\displaystyle (2-c)(b-a)=(b-a)(2-c)\neq (a-b)(2-c);$
3) $\displaystyle (c-2)(b-a)=(2-c)(a-b)=(a-b)(2-c);$
4) $\displaystyle -(a+b)(2+c)=(-a-b)(2+c)\neq (a-b)(2-c).$
Таким образом, только выражение тождественно равно выражению $\displaystyle (a-b)(2-c)$.
Ответ: 3.