Степень с целым показателем. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 19

Пусть $n$ — натуральное число. Тогда по определению
$\displaystyle a^{n}=\underset{n}{\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}}$
Например,
$\displaystyle 5^{4}=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625;\; (-3)^{2}=(-3)\cdot (-3)=9;\; (-2)^{3}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8;\; 7^{1}=7;$
$\displaystyle 0^{8}=0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0.$
Пусть $\displaystyle n=0,\; a\neq 0$, тогда $\displaystyle a^{0}=1$.
Например, $\displaystyle 5^{0}=1,\; (-45)^{0}=1,\; (0,7)^{0}=1.$
Запись $\displaystyle 0^{0}$ считается не имеющей смысла.
Пусть $n$ — натуральное число, $\displaystyle a\neq 0$, тогда $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.$
Например, $\displaystyle 4^{-3}=\frac{1}{4^{3}}=\frac{1}{4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{64};\; (-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^{4}}=\frac{1}{16}.$
Запись $\displaystyle 0^{-n}$ считается не имеющей смысла.

Свойства степени с целым показателем:

$\displaystyle \begin{matrix} a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}; &\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}; \\ (ab)^{n}=a^{n}b^{n};& (a^{m})^{n}=a^{mn};\\ \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}};& \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}, \end{matrix}$
если $\displaystyle a\neq 0$ и $\displaystyle b\neq 0$.
Пример 1. Упростите выражение $\displaystyle (2a)^{-5}\cdot (4a)^{5}.$
Решение.
$\displaystyle (2a)^{-5}\cdot (4a)^{5}=2^{-5}\cdot a^{-5}\cdot 4^{5}\cdot a^{5}=\frac{1}{2^{5}}\cdot 4^{5}\cdot a^{-5+5}=\left ( \frac{4}{2} \right )^{5}\cdot a^{0}=2^{5}\cdot 1=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32.$
Ответ: 32.
Пример 2. Упростите выражение $\displaystyle \frac{60a^{-6}\cdot a^{3}}{a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = 15$.
Решение.
$\displaystyle \frac{60a^{-6}\cdot a^{3}}{a^{-2}}=60\cdot a^{-6+3-(-2)}=60a^{-1}=\frac{60}{a}.$
При $a = 15$ получаем $\displaystyle \frac{60}{a}=\frac{60}{15}=4.$
Ответ: 4.
Пример 3. Упростите выражение $\displaystyle \left ( \frac{x}{3} \right )^{10}\cdot \left ( \frac{x^{2}}{9} \right )^{-4}$ и найдите его значение при $x = 21$.
Решение.
$\displaystyle \left ( \frac{x}{3} \right )^{10}\cdot \left ( \frac{x^{2}}{9} \right )^{-4}=\left ( \frac{x}{3} \right )^{10}\cdot\left ( \left ( \frac{x}{3} \right )^{2} \right )^{-4}=\left ( \frac{x}{3} \right )^{10} \cdot \left ( \frac{x}{3} \right )^{-8}=\left ( \frac{x}{3} \right )^{2}.$
При $x=21$ получаем $\displaystyle \left ( \frac{21}{3} \right )^{2}=7^{2}=49.$
Ответ: 49.