Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 17

matan_17

Случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай \displaystyle 0\cdot \infty).
Этот случай вычисления предела функции приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных ранее (в предыдущих уроках)случаев, т. е. к случаю \displaystyle \frac{0}{0} или к случаю \displaystyle \frac{\infty }{\infty }.
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2};
2) \displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\frac{\pi }{4}-x)\cdot cosec\: \left (\frac{3}{4}\pi +x \right );
3) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \textrm{arcctg}\: x;
4) \displaystyle \underset{x \to -\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \left ( \frac{\pi }{2}+\textrm{arctg}\: x \right ).


Решение. Установив, что при указанном изменении аргумента функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай \displaystyle 0\cdot \infty), преобразуем ее к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности.
1) \displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2}=\underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{(1-x)\textrm{sin}\: \frac{\pi x}{2}}{\textrm{cos}\: \frac{\pi x}{2}}=\underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\: \textrm{sin}\: \frac{\pi x}{2}\cdot \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{1-x}{\textrm{cos}\: \frac{\pi x}{2}}=
=1\cdot \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{1-x}{\textrm{sin}\: \left (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2} \right )}=\frac{2}{\pi }\underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi }{2}(1-x)}{\textrm{sin}\: \frac{\pi }{2}(1-x)}=\frac{2}{\pi }\cdot 1=\frac{2}{\pi}.
Этот пример можно решить другим способом, заменив переменную. Полагая \displaystyle 1-x=\alpha, получим
\displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\alpha \cdot tg\: \left ( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi \alpha }{2} \right )=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\alpha \cdot \textrm{ctg}\: \frac{\pi \alpha }{2}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha \textrm{cos}\: \frac{\pi \alpha }{2}}{\textrm{sin}\: \frac{\pi \alpha }{2}}=
=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\textrm{cos}\: \frac{\pi \alpha }{2}\cdot \underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha }{\textrm{sin}\: \frac{\pi \alpha }{2}}=1\cdot \frac{2}{\pi }\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi \alpha}{2}}{\textrm{sin}\: \frac{\pi \alpha }{2}}=\frac{2}{\pi }.
2) Полагая \displaystyle \frac{\pi }{4}-x=t, получим
\displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\frac{\pi }{4}-x)\cdot cosec\: \left (\frac{3}{4}\pi +x \right )=\underset{t \to 0 }{\textrm{lim}}\: t\cdot cosec\:(\pi-t)=\underset{t \to 0 }{\textrm{lim}}\:\frac{t}{\sin t}=1.
3) Полагая \displaystyle \textrm{arcctg}\: x=\alpha, имеем \displaystyle x=\textrm{ctg}\: \alpha и
\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \textrm{arcctg}\: x=\underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\alpha \cdot \textrm{ctg}\: \alpha =\underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha \: \cos \alpha }{\sin \alpha }=\underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\cos \alpha \cdot \underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha }{\sin \alpha }=1.
4) Положим \displaystyle \textrm{arctg}\: x=z, получим \displaystyle x=\textrm{tg}\: z и
\displaystyle \underset{x \to -\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \left ( \frac{\pi }{2}+\textrm{arctg}\: x \right )=\underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\left ( \frac{\pi }{2}+z \right )\textrm{tg}\: z=\underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\frac{\left ( \frac{\pi }{2}+z \right )\sin z}{\cos z}=
=\underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\sin z\cdot \underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi }{2}+z}{\cos z}=-1\cdot \underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi }{2}+z}{\sin \left ( \frac{\pi }{2}+z \right )}=-1\cdot 1=-1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: