Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 17

Случай, когда при $\displaystyle x \to a$ или $\displaystyle x \to \infty$ функция $f(x)$ представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай $\displaystyle 0\cdot \infty$).
Этот случай вычисления предела функции приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных ранее (в предыдущих уроках)случаев, т. е. к случаю $\displaystyle \frac{0}{0}$ или к случаю $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$.
Пример 1. Найти пределы:
1) $\displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2}$;
2) $\displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\frac{\pi }{4}-x)\cdot cosec\: \left (\frac{3}{4}\pi +x \right )$;
3) $\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \textrm{arcctg}\: x$;
4) $\displaystyle \underset{x \to -\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \left ( \frac{\pi }{2}+\textrm{arctg}\: x \right )$.
Решение. Установив, что при указанном изменении аргумента функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай $\displaystyle 0\cdot \infty$), преобразуем ее к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности.
1) $\displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2}=\underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{(1-x)\textrm{sin}\: \frac{\pi x}{2}}{\textrm{cos}\: \frac{\pi x}{2}}=\underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\: \textrm{sin}\: \frac{\pi x}{2}\cdot \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{1-x}{\textrm{cos}\: \frac{\pi x}{2}}=$
=$1\cdot \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{1-x}{\textrm{sin}\: \left (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2} \right )}=\frac{2}{\pi }\underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi }{2}(1-x)}{\textrm{sin}\: \frac{\pi }{2}(1-x)}=\frac{2}{\pi }\cdot 1=\frac{2}{\pi}.$
Этот пример можно решить другим способом, заменив переменную. Полагая $\displaystyle 1-x=\alpha$, получим
$\displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\alpha \cdot tg\: \left ( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi \alpha }{2} \right )=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\alpha \cdot \textrm{ctg}\: \frac{\pi \alpha }{2}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha \textrm{cos}\: \frac{\pi \alpha }{2}}{\textrm{sin}\: \frac{\pi \alpha }{2}}=$
$=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\textrm{cos}\: \frac{\pi \alpha }{2}\cdot \underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha }{\textrm{sin}\: \frac{\pi \alpha }{2}}=1\cdot \frac{2}{\pi }\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi \alpha}{2}}{\textrm{sin}\: \frac{\pi \alpha }{2}}=\frac{2}{\pi }.$
2) Полагая $\displaystyle \frac{\pi }{4}-x=t$, получим
$\displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\frac{\pi }{4}-x)\cdot cosec\: \left (\frac{3}{4}\pi +x \right )=\underset{t \to 0 }{\textrm{lim}}\: t\cdot cosec\:(\pi-t)=\underset{t \to 0 }{\textrm{lim}}\:\frac{t}{\sin t}=1.$
3) Полагая $\displaystyle \textrm{arcctg}\: x=\alpha$, имеем $\displaystyle x=\textrm{ctg}\: \alpha$ и
$\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \textrm{arcctg}\: x=\underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\alpha \cdot \textrm{ctg}\: \alpha =\underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha \: \cos \alpha }{\sin \alpha }=\underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\cos \alpha \cdot \underset{\alpha \to +0 }{\textrm{lim}}\frac{\alpha }{\sin \alpha }=1.$
4) Положим $\displaystyle \textrm{arctg}\: x=z$, получим $\displaystyle x=\textrm{tg}\: z$ и
$\displaystyle \underset{x \to -\infty }{\textrm{lim}}x\cdot \left ( \frac{\pi }{2}+\textrm{arctg}\: x \right )=\underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\left ( \frac{\pi }{2}+z \right )\textrm{tg}\: z=\underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\frac{\left ( \frac{\pi }{2}+z \right )\sin z}{\cos z}=$
$=\underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\sin z\cdot \underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi }{2}+z}{\cos z}=-1\cdot \underset{z \to -\frac{\pi }{2} }{\textrm{lim}}\frac{\frac{\pi }{2}+z}{\sin \left ( \frac{\pi }{2}+z \right )}=-1\cdot 1=-1.$