Окружность называют вписанной в угол или многоугольник (в частности, в треугольник), если она касается всех сторон соответствующего угла или многоугольника (см. рис. 1).
Окружность называют описанной вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности (см. рис. 2).
1°. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла.
Окружность с центром вписана в угол , следовательно, (см. рис. 3).
2°. Центр вписанной в многоугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
В точка — центр вписанной окружности, следовательно, — биссектрисы углов (см. рис. 4).
3°. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Окружность вписана в четырёхугольник , значит . (см. рис. 5).
4°. Центр описанной окружности многоугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
вписан в окружность, — центр (см. рис. 6).
5°. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
вписан в окружность с центром , , значит , точка лежит на (см. рис. 7).
6°. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно вычислить по формуле где и — катеты, — гипотенуза.
7°. Центры вписанной и описанной окружности правильного треугольника совпадают, центр лежит на высоте треугольника и делит её в отношении 2:1, считая от вершины.
8°. Если четырёхугольник вписан в окружность, суммы его противоположных углов равны 180°.
вписан в окружность (см. рис. 8).
9°. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.