Углы, связанные с окружностью (задачи). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 15

Задача 1. Найдите угол $ACO$ , если прямая $CA$ касается окружности в точке $A$ , точка $O$ — центр окружности, дуга $AD$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна 128° (см. рис. 1). Ответ дайте в градусах.

Рис. 1.

Решение.
Угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, прямой: $\displaystyle \angle OAC=90^{\circ}$ . Центральный угол $DOA$ равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть $\displaystyle \angle DOA=\breve{DA}=128^{\circ}.$ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним, $\displaystyle \angle DOA=\angle OAC+\angle ACO,\; \angle ACO=128^{\circ}-90^{\circ}=38^{\circ}.$
Ответ: 38.
Задача 2. Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в 104°. Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B$ . Ответ дайте в градусах (см. рис. 2).

Рис. 2.

Решение.
Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой из конца хорды, равен половине угловой величины дуги, которую стягивает эта хорда. $\displaystyle \angle CBA=0,5\cdot \breve{AB}=0,5\cdot 104^{\circ}=52^{\circ}.$
Ответ: 52.
Задача 3. Через концы $A$ и $B$ дуги окружности в 56° проведены касательные $AC$ и $BC$ . Найдите угол $ACB$ . Ответ дайте в градусах (см. рис. 3).

Рис. 3.

Решение.
$\displaystyle \angle OBC=\angle OAC=90^{\circ}$ , так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. $\displaystyle \angle BOA=\breve{BA}=56^{\circ}$ (центральный угол опирается на дугу 56°). В четырёхугольнике $OBCA$ сумма углов равна 360°. $\displaystyle \angle ACB=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-56^{\circ}=124^{\circ}.$
Ответ: 124.
Задача 4. Найдите величину угла $MPK$ . Ответ дайте в градусах (см. рис. 4).

Рис. 4.

Решение.
При формулировании подобных задач имеется в виду, что отмеченная на рисунке дуга $MK$ меньше всей окружности в целое число раз.

Рис. 5.

Дуга $BK$ — одна четвёртая всей окружности (см. рис. 5), $MK$ — одна восьмая, то есть 360° : 8 = 45°. Вписанный $\displaystyle \angle MPK$ опирается на дугу $MK$ , значит
$\displaystyle \angle MPK=\frac{1}{2}\breve{MOK}=45^{\circ}:2=22,5^{\circ}.$
Ответ: 22,5.
Задача 5. Центральный угол на 54° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности (см. рис. 6). Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Рис. 6.

Решение.
Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Если он на 54° больше вписанного угла, то вписанный угол равен 54°.
Ответ: 54.
Задача 6. В окружности с центром $O$ $AB$ и $CD$ — диаметры (см. рис. 7). Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол рис j^g ABC. Ответ дайте в градусах.

Рис. 7.

Решение.
Диаметр $DC$ опирается на полуокружность $\displaystyle \breve{DC}=180^{\circ}.$ $\displaystyle \breve{AC}=\breve{DC}-\breve{DA}=180^{\circ}-\angle DOA=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}.$ Вписанный угол $ABC$ равен половине угловой величины дуги, на которую опирается. $\displaystyle \angle ABC=0,5\cdot \breve{AC}=0,5\cdot 72^{\circ}=36^{\circ}.$
Ответ: 36.
Задача 7. Найдите угол $ACB$ , если вписанные углы $AMB$ и $MAK$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 106° и 42° (см. рис. 8). Ответ дайте в градусах.

Рис. 8.

Решение.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. $\displaystyle \angle BMA=0,5\cdot \breve{AB}=0,5\cdot 106^{\circ}=53^{\circ}.\; \angle MAK=0,5\cdot \breve{MK}=0,5\cdot 42^{\circ}=21^{\circ}.$ $\displaystyle \angle BMA$ — внешний к углу $M$ $\displaystyle \bigtriangleup AMC$ , значит, $\displaystyle \angle BMA$ равен сумме $\displaystyle \angle MCA$ и $\displaystyle \angle MAC$ этого треугольника. $\displaystyle \angle C=\angle BMA-\angle MAC=53^{\circ}-21^{\circ}=32^{\circ}.$
Ответ: 32.
Задача 8. Хорда $MP$ делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 4 : 8. Под каким углом видна эта хорда из точки $K$ , принадлежащей меньшей дуге $MP$ ? Ответ дайте в градусах (см. рис. 9).

Рис. 9.

Решение.
$\displaystyle \angle MKP$ — вписанный, он равен половине дуги $MP$ , на которую он опирается. Окружность 360° делится на две части, которые относятся как 4 : 8, обозначим эти части 4х и 8х. 4х + 8х = 360, 12x = 360, х = 360 : 12 = 30, большая дуга 8х = 8 • 30 = 240. $\displaystyle \angle MKP=0,5\cdot \breve{MP}=0,5\cdot 240^{\circ}=120^{\circ}.$
Ответ: 120.