Задача 1. Найдите угол , если прямая касается окружности в точке , точка — центр окружности, дуга окружности, заключённая внутри этого угла, равна 128° (см. рис. 1). Ответ дайте в градусах.
Решение.
Угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, прямой: . Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним,
Ответ: 38.
Задача 2. Хорда стягивает дугу окружности в 104°. Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку . Ответ дайте в градусах (см. рис. 2).
Решение.
Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой из конца хорды, равен половине угловой величины дуги, которую стягивает эта хорда.
Ответ: 52.
Задача 3. Через концы и дуги окружности в 56° проведены касательные и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах (см. рис. 3).
Решение.
, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. (центральный угол опирается на дугу 56°). В четырёхугольнике сумма углов равна 360°.
Ответ: 124.
Задача 4. Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах (см. рис. 4).
Решение.
При формулировании подобных задач имеется в виду, что отмеченная на рисунке дуга меньше всей окружности в целое число раз.
Дуга — одна четвёртая всей окружности (см. рис. 5), — одна восьмая, то есть 360° : 8 = 45°. Вписанный опирается на дугу , значит
Ответ: 22,5.
Задача 5. Центральный угол на 54° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности (см. рис. 6). Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Если он на 54° больше вписанного угла, то вписанный угол равен 54°.
Ответ: 54.
Задача 6. В окружности с центром и — диаметры (см. рис. 7). Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол рис j^g ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Диаметр опирается на полуокружность Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую опирается.
Ответ: 36.
Задача 7. Найдите угол , если вписанные углы и опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 106° и 42° (см. рис. 8). Ответ дайте в градусах.
Решение.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. — внешний к углу , значит, равен сумме и этого треугольника.
Ответ: 32.
Задача 8. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 4 : 8. Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге ? Ответ дайте в градусах (см. рис. 9).
Решение.
— вписанный, он равен половине дуги , на которую он опирается. Окружность 360° делится на две части, которые относятся как 4 : 8, обозначим эти части 4х и 8х. 4х + 8х = 360, 12x = 360, х = 360 : 12 = 30, большая дуга 8х = 8 • 30 = 240.
Ответ: 120.