Решение простейших тригонометрических неравенств и неравенств, непосредственно сводящихся к простейшим. Видеоурок №55

Тригонометрические неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства и неравенства, непосредственно сводящиеся к простейшим. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №55
Пример. Решить неравенство: $\displaystyle \sin x>\frac{1}{2}$ .
Решение. Воспользуемся определением синуса. Выделим на единичной окружности множество точек, ординаты которых больше $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Используя периодичность функции $f(x)=\sin x$ , запишем
$\frac{\pi }{6}+2\pi k<x<\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$ . Ответ: $\displaystyle \left (\frac{\pi }{6}+2\pi k; \frac{5\pi }{6}+2\pi k\right ),\, k\in \mathbb{Z}.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:

1. Решить неравенство:
1) $\displaystyle \sin x>-\frac{1}{2};$
2) $\displaystyle \sin x>\frac{\sqrt{3}}{2};$
3) $\displaystyle \sin 2x<-\frac{\sqrt{2}}{2};$
4) $\displaystyle \sin 3x\leq \frac{\sqrt{3}}{2};$
5) $\displaystyle \sin x\leq -1;$
6) $\displaystyle \sin (1-2x)<-\frac{\sqrt{2}}{2};$
7) $\displaystyle \sin \left ( 2x-\frac{\pi }{6} \right )<0,2;$
8) $\displaystyle 3\sin x+1>0;$
9) $\displaystyle \sin x\cos \frac{x}{2}+\cos x\sin \frac{x}{2}\geq \frac{1}{3};$
10) $\displaystyle \cos x\leq \frac{\sqrt{3}}{2};$
11) $\displaystyle \cos 2x>- \frac{\sqrt{3}}{2};$
12) $\displaystyle \cos 2x<- \frac{1}{\sqrt{2}};$
13) $\displaystyle \cos (2x-2)>\frac{1}{2};$
14) $\displaystyle 2\cos 4x+\sqrt{3}\leq 0;$
15) $\displaystyle \cos \left ( x-\frac{\pi }{6} \right )\geq \frac{1}{2};$
16) $\displaystyle \cos x\geq 1.$
2. Решить неравенство:
1) $\displaystyle \textrm{tg}\, x\geq -1;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}\, x\leq 2;$
3) $\displaystyle \textrm{tg}\, \frac{x}{4}< 0;$
4) $\displaystyle \textrm{tg}\, \left ( x-\frac{\pi }{3} \right )< -\sqrt{3};$
5) $\displaystyle \textrm{ctg}\, x\geq \sqrt{3};$
6) $\displaystyle \textrm{ctg}\, 2x < -1;$
7) $\displaystyle \textrm{ctg}\, x < 0;$ 8) $\displaystyle \textrm{ctg}\, \left ( x-\frac{\pi }{4} \right ) \geq 1.$