Решение систем уравнений, в которых одно уравнение - алгебраическое, а другое содержит тригонометрические функции. Видеоурок №51

Решение систем уравнений, в которых дно уравнение - алгебраическое, а другое содержит тригонометрические функции. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №51
Пример. Решить систему уравнений $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{3};\\ \sin x+\sin y=1. \end{matrix}\right.$
Решение. $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{3};\\ 2\sin \frac{x+y}{2}+\cos\frac{x-y}{2} =1. \end{matrix}\right.$
Подставим во второе уравнение системы $\displaystyle \frac{\pi }{3}$ вместо $x+y$. Имеем:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{3};\\ 2\sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{x-y}{2}=1; \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{3};\\ \cos \frac{x-y}{2}=1; \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{3};\\ x-y=4\pi k,\: k\in \mathbb{Z}; \end{matrix}\right.$
Сложим и вычтем первое и второе уравнения системы, получим:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,;\\ y=\frac{\pi }{6}-2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}. \end{matrix}\right.$
Ответ: $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{6}+2\pi k; \frac{\pi }{6}-2\pi k\right ),\: k\in \mathbb{Z}.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:

1. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{\pi }{3},\\ \cos x+\cos y=\frac{3}{2}; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=60^{\circ},\\ \cos x+\cos y=1,5; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{2},\\ \sin x+\sin y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}; \end{matrix}\right.$
4) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{2},\\ \sin x+\cos y=\sqrt{2}; \end{matrix}\right.$
5) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{5}{6}\pi ,\\ \cos^{2} x+\cos^{2} y=\frac{1}{4}; \end{matrix}\right.$
6) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi}{4} ,\\ \sin^{2} x+\sin^{2} y=1. \end{matrix}\right.$
2. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{\pi}{3} ,\\ \cos x\cos y=\frac{1}{2}; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi}{3} ,\\ \sin x\sin y=0,25; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{\pi}{3} ,\\ \sin x\cos y=\frac{1}{2}; \end{matrix}\right.$
4) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{5\pi}{12} ,\\ \cos x\cos y=\frac{\sqrt{6}}{4}; \end{matrix}\right.$
3. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{5}{3}\pi ,\\ \sin x=2\sin y; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{3}{2}\pi ,\\ \sin 2x+\cos y=0; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi}{6} ,\\ 2\sqrt{3}\cos y-4\cos x=1; \end{matrix}\right.$
4) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{5}{2}\pi ,\\ \cos 2x+\sin y=2. \end{matrix}\right.$