Решение систем уравнений, в которых одно уравнение - алгебраическое, а другое содержит тригонометрические функции. Видеоурок №52

Решение систем уравнений, в которых дно уравнение - алгебраическое, а другое содержит тригонометрические функции. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №52
Пример. Решить систему уравнений $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi}{4} ,\\ \textrm{tg}\, x+\textrm{tg}\, y=1. \end{matrix}\right.$
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
$\displaystyle \frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}=1$. Поскольку $\displaystyle x+y=\frac{\pi }{4}$, значит имеем: $\displaystyle \cos x\cos y=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$\displaystyle \frac{1}{2}(\cos (x+y)+\cos (x-y))=\frac{\sqrt{2}}{2};\: \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos (x-y)=\sqrt{2};$$

$$\displaystyle x-y=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,\: k\in \mathbb{Z};\: \left[\begin{matrix} x-y=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x-y=- \frac{\pi }{4}+2\pi k,\, k\in \mathbb{Z}.\\ \end{matrix}\right.$$

Продолжение решения смотрите в видео.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:

1. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{2},\\ \textrm{tg}\, x+\textrm{tg}\, y=2; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{2\pi }{3},\\ \textrm{tg}\, x-\textrm{tg}\, y=-2\sqrt{3}; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=135^{\circ},\\ \textrm{tg}\, x-\textrm{tg}\, y=2; \end{matrix}\right.$
4) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} y-x=\frac{\pi }{6},\\ \textrm{tg}\, x+\textrm{ctg}\, y=\frac{2}{\sqrt{3}}; \end{matrix}\right.$
2. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{4},\\ \textrm{tg}\, x\, \textrm{tg}\, y=\frac{1}{6}; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{\pi }{2},\\ \textrm{tg}\, x\, \textrm{ctg}\, y=-\frac{1}{3}; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{\pi }{3},\\ \textrm{ctg}\, x\, \textrm{ctg}\, y=\frac{1}{3}; \end{matrix}\right.$
4) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{2},\\ \textrm{tg}\, x\, \textrm{ctg}\, y=1. \end{matrix}\right.$