Решение систем уравнений, в которых оба уравнения содержат тригонометрические функции. Видеоурок №54

Системы уравнений, в которых оба уравнения содержат тригонометрические функции. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №54
Пример. Решить систему уравнений $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=0,25,\\ \cos x\cos y=-0,5. \end{matrix}\right.$
Решение. $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}(\cos x+\cos y)=\frac{1}{4},\\ \cos x\cos y=-\frac{1}{2}; \end{matrix}\right.$ $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \cos x+\cos y=\frac{1}{2},\\ \cos x\cos y=-\frac{1}{2}. \end{matrix}\right.$
$\cos x$ и $\cos y$ являются корнями квадратного уравнения $t^{2}-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0$, корни которого $t_{1}=1,\: t_{2}=-\frac{1}{2}$. Получим совокупность $\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \cos x=1,\\ \cos y=-\frac{1}{2}, \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} \cos x=-\frac{1}{2},\\ \cos y=1, \end{matrix}\right.\\ \end{matrix}\right.$ отсюда $\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=2\pi k,\\ y=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n, \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ y=2\pi n,\, k,n\in \mathbb{Z}. \end{matrix}\right.\\ \end{matrix}\right.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:

1. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \cos x\cos y=0,25,\\ \cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=0,5; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=\frac{1}{4},\\ \sin x\sin y=-\frac{1}{2}; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \cos x+\cos y=1,\\ \cos \frac{x}{2}+\cos \frac{y}{2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}. \end{matrix}\right.$
2. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \textrm{tg}\frac{x}{2}+\textrm{tg}\frac{y}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}},\\ \textrm{tg}x+\textrm{tg}y=2\sqrt{3}; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \cos ^{2}y+3\sin x\sin y=0,\\ 21\cos 2x-\cos 2y=10. \end{matrix}\right.$
3. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \sqrt{2}\sin x=\sin y,\\ \sqrt{2}\cos x=\sqrt{3}\cos y; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \sin ^{2}x=\sin y,\\ \cos ^{4}x=\cos y; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \sin ^{3}x=\frac{1}{2}\sin y,\\ \cos ^{3}x=\frac{1}{2}\cos y; \end{matrix}\right.$
4) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} 5\sin x=\sin y,\\ 3\cos x+\cos y=2. \end{matrix}\right.$
4. Решить систему уравнений:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+\sin (x+y)=1,5,\\ 3x-\sin (x+y)=2,5; \end{matrix}\right.$
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} 4y-2\cos (x-y)=3,\\ 6\cos (x-y)+2y=5; \end{matrix}\right.$
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} 5x-\textrm{tg}(x+y)=9,\\ 5\textrm{tg} (x+y)+x=7; \end{matrix}\right.$
4) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}\cos x+4y=-0,5,\\ 4\sqrt{3}\cos x+28y=1. \end{matrix}\right.$