Задача 3. В треугольнике стороны , высота равна 6,(см. рис. 8). Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение.
В прямоугольном , гипотенуза , катет . Если катет равен половине гипотенузы,
то напротив этого катета лежит угол, равный 30°. Поэтому .
Ответ: 30.
Задача 4. В треугольнике — высота, — биссектриса, — точка пересечения прямых и , угол равен 31°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах (см. рис. 9).
Решение.
— биссектриса, значит,
В Рассмотрим .
Ответ: 121.
Задача 5. Острые углы прямоугольного треугольника равны 39° и 51°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 10).
Решение.
В — биссектриса,
— высота, Нужно найти , он равен разности
Найдём из .
Ответ: 6.
Задача 6. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3 (см. рис. 11). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть Обозначим
— наибольший из углов и .
Ответ: 51.
Задача 7. Основания трапеции и равны 14 и 10 соответственно (см. рис. 12). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ .
Решение.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции, и её концы являются серединами боковых сторон. Параллельные прямые и проходят через концы равных отрезков на одной прямой , значит, и на прямой они отсекают равные отрезки (по теореме Фалеса). и — средние линии и . Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, Больший из отрезков равен 7.
Ответ: 7.
Задача 8. В треугольнике проведена биссектриса . Найдите меньший угол треугольника . Ответ дайте в градусах (см. рис. 13).
Решение.
— равнобедренный, и углы при основании равны (см. рис. 14). . Аналогично в равнобедренном
, так как — биссектриса. как суммы углов треугольников. Обозначим
Меньший угол равен 36°.
Ответ: 36.
Задача 9. В треугольнике угол равен 48°, На продолжении стороны отложен отрезок . Найдите угол . Ответ дайте в градусах (см. рис. 15).
Решение.
Сумма углов треугольника равна 180°, — равнобедренный (), следовательно углы при основании равны,
Ответ: 30.
Задача 10. В треугольнике . Внешний угол при вершине равен 156°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах (см. рис. 16).
Решение.
Внешний угол треугольника равен сумме углов, не смежных с ним. — равнобедренный, углы при основании равны.
Ответ: 78.