Свойства треугольника. Решение задач. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 12

Задача 3. В треугольнике $VHR$ стороны $VR = HR = 12$, высота $VD$ равна 6,(см. рис. 8). Найдите угол $R$. Ответ дайте в градусах.

Решение.
В прямоугольном $\displaystyle \bigtriangleup VDR$ $\displaystyle \angle D=90^{\circ}$, гипотенуза $\displaystyle VR=12$, катет $\displaystyle VD=6$. Если катет равен половине гипотенузы,
то напротив этого катета лежит угол, равный 30°. Поэтому $\displaystyle \angle R=30^{\circ}$.
Ответ: 30.
Задача 4. В треугольнике $ABC$ $CH$ — высота, $AK$ — биссектриса, $O$ — точка пересечения прямых $CH$ и $AK$, угол $BAK$ равен 31°. Найдите угол $AOC$. Ответ дайте в градусах (см. рис. 9).

Решение.
$AK$ — биссектриса, значит, $\displaystyle \angle CAK=\angle BAK=31^{\circ},\; \angle CAH=2\cdot 31^{\circ}=62^{\circ}.$
В $\displaystyle \bigtriangleup ACH\; \angle ACH=90^{\circ},\; \angle HCA=180^{\circ}-90^{\circ}-62^{\circ}=28^{\circ}.$ Рассмотрим $\displaystyle \bigtriangleup ACO$.
$\displaystyle \angle AOC=180^{\circ}-\angle HCA-\angle CAO=180^{\circ}-28^{\circ}-31^{\circ}=121^{\circ}.$
Ответ: 121.
Задача 5. Острые углы прямоугольного треугольника равны 39° и 51°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 10).
Решение.
В $\displaystyle \bigtriangleup ABC\; \angle C=90^{\circ},\; \angle A=39^{\circ},\; \angle B=51^{\circ}.$ $CD$ — биссектриса, $\displaystyle \angle ACD=\angle DCB=45^{\circ}.$

$CH$ — высота, $\displaystyle \angle AHC=90^{\circ}.$ Нужно найти $\displaystyle \angle DCH$, он равен разности $\displaystyle \angle ACH-\angle ACD.$
Найдём $\displaystyle \angle ACH$ из $\displaystyle \bigtriangleup ACH$. $\displaystyle \angle ACH=180^{\circ}-90^{\circ}-39^{\circ}=51^{\circ}.\; \angle DCH=51^{\circ}-45^{\circ}=6^{\circ}.$
Ответ: 6.
Задача 6. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3 (см. рис. 11). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть $\displaystyle \angle A+\angle C=85^{\circ}.$ Обозначим $\displaystyle \angle A=2x,\; \angle C=3x.$ $\displaystyle 2x+3x=85,\, \; 5x=85,\, \; x=17.$
$\displaystyle \angle C=3x=3\cdot 17=51^{\circ}$ — наибольший из углов $A$ и $C$.
Ответ: 51.
Задача 7. Основания трапеции $AB$ и $DC$ равны 14 и 10 соответственно (см. рис. 12). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ $BD$.

Решение.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции, и её концы являются серединами боковых сторон. $DC||AB||EF, ED=EA, BF=CF.$ Параллельные прямые $DC, EF$ и $AB$ проходят через концы равных отрезков на одной прямой $(AD)$, значит, и на прямой $DB$ они отсекают равные отрезки (по теореме Фалеса). $\displaystyle BK=DK\Rightarrow EK$ и $KF$ — средние линии $\displaystyle \bigtriangleup ADB$ и $\displaystyle \bigtriangleup DCB$. Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, $\displaystyle EK=AB:2=14:2=7;\; KF=DC:2=10:2=5.$ Больший из отрезков равен 7.
Ответ: 7.
Задача 8. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AE$. $AB = AE = CE.$ Найдите меньший угол треугольника $ABC$. Ответ дайте в градусах (см. рис. 13).
Решение.
$\displaystyle AB=AE\Rightarrow \bigtriangleup ABE$ — равнобедренный, и углы при основании равны (см. рис. 14). $\displaystyle \angle 1=\angle 2$. Аналогично в равнобедренном

$\displaystyle \bigtriangleup ACE\; \angle 3=\angle 4.\; \angle 5=\angle 3$, так как $AE$ — биссектриса. $\displaystyle \angle CAB+\angle B+\angle C=180^{\circ},\; \angle 1+\angle 2+\angle 5=180^{\circ}$ как суммы углов треугольников. Обозначим $\displaystyle \angle B=x,\; \angle 4=\angle C=y.$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2y+x+y=180,\\ y+x+x=180; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3y+x=180,\\ y+2x=180; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=72,\\ y=36. \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \angle C=36^{\circ},\; \angle B=72^{\circ},\; \angle A=2y=72^{\circ}.$
Меньший угол равен 36°.
Ответ: 36.
Задача 9. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен 48°, $\displaystyle \angle ACD=102^{\circ}.$ На продолжении стороны $AB$ отложен отрезок $BD=BC$. Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах (см. рис. 15).

Решение.
Сумма углов треугольника равна 180°, $\displaystyle \angle A+\angle D+\angle ACD=180^{\circ},\; \angle D=180^{\circ}-48^{\circ}-102^{\circ}=30^{\circ}.$ $\displaystyle \bigtriangleup DBC$ — равнобедренный ($BC=BD$), следовательно углы при основании равны, $\displaystyle \angle BCD=\angle D=30^{\circ}.$
Ответ: 30.
Задача 10. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен 156°. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах (см. рис. 16).

Решение.
Внешний угол треугольника равен сумме углов, не смежных с ним. $\displaystyle \angle A+\angle C=156^{\circ}.\; \bigtriangleup ABC$ — равнобедренный, углы при основании равны. $\displaystyle \angle A=\angle C=156^{\circ}:2=78^{\circ}.$
Ответ: 78.