Геометрическая прогрессия. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 34

• Пусть дана бесконечная числовая последовательность $\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{n},...$ . Если выполняется равенство $\displaystyle b_{n+1}=b_{n}\cdot q$ для всех натуральных $n$ и $\displaystyle q\neq 0$, то такая последовательность называется геометрической прогрессией.
• Число $\displaystyle q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например, последовательность чисел 1,3,9,27,81,... является геометрической прогрессией. Знаменатель прогрессии $q = 9:3 = 3$.
• $\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$ — формула $n$-го члена геометрической прогрессии.
Задача 1. Дана геометрическая прогрессия 2, 6, 18,... . Найдите знаменатель прогрессии.
Решение.
$\displaystyle b_{1}=2,b_{2}=6,q=\frac{b_{2}}{b_{1}},q=\frac{6}{2}=3.$
Ответ: 3.
Задача 2. Найдите пятый член геометрической прогрессии, если $\displaystyle b_{1}=128,q=\frac{1}{2}.$
Решение.
По формуле $\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$ найдём
$\displaystyle b_{5}=128\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{5-1}=128\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{4}=128\cdot \frac{1}{16}=8.$
Ответ: 8.
Задача 3. Запишите пять первых членов геометрической прогрессии, если заданы $\displaystyle b_{1}$ и $q$.
а) $\displaystyle b_{1}=4,q=2;$
б) $\displaystyle b_{1}=-4,q=2;$
в) $\displaystyle b_{1}=4,q=-2;$
г) $\displaystyle b_{1}=-4,q=-2;$
Решение.
а) Если $\displaystyle b_{1}=4,q=2$, то
$\displaystyle b_{2}=4\cdot 2=8,b_{3}=4\cdot 2^{2}=16,b_{4}=4\cdot 2^{3}=32,b_{5}=4\cdot 2^{4}=64.$
б) Если $\displaystyle b_{1}=-4,q=2$, то
$\displaystyle b_{2}=-4\cdot 2=-8,b_{3}=-4\cdot 2^{2}=-16,b_{4}=-4\cdot 2^{3}=-32,b_{5}=-4\cdot 2^{4}=-64.$
в) Если $\displaystyle b_{1}=4,q=-2$, то
$\displaystyle b_{2}=4\cdot (-2)=-8,b_{3}=4\cdot (-2)^{2}=16,b_{4}=4\cdot (-2)^{3}=-32,b_{5}=4\cdot (-2)^{4}=64.$
г) Если $\displaystyle b_{1}=-4,q=-2$, то
$\displaystyle b_{2}=-4\cdot (-2)=8,b_{3}=-4\cdot (-2)^{2}=-16,b_{4}=-4\cdot (-2)^{3}=32,b_{5}=-4\cdot (-2)^{4}=-64.$
Ответ: а) 4, 8,16, 32,64;
б) -4, -8, -16, -32, -64;
в) 4, -8,16, -32,64;
г) -4, 8,-16, 32, —64.
Задача 3. Найдите пятый член геометрической прогрессии, если $\displaystyle b_{1}=\frac{1}{3},b_{4}=9.$
Решение.
Так как $\displaystyle b_{4}=b_{1}\cdot q^{3}$, то
$\displaystyle 9=\frac{1}{3}\cdot q^{3},q^{3}=27,q=3.\; b_{5}=b_{4}\cdot q=9\cdot 3=27.$
Ответ: 27.