Свойства арифметической прогрессии. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 33

• Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов: $\displaystyle a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$
• Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $\displaystyle (S_{n})$: $\displaystyle S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$ или $\displaystyle S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n.$
Пример 1. Задана арифметическая прогрессия $\displaystyle 49,2x,51,...$ . Найдите $x$.
Решение.
Так как каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то $\displaystyle 2x=\frac{49+51}{2},2x=50,x=25.$
Ответ: 25.
Пример 2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, у которой $\displaystyle a_{1}=7,a_{2}=10,a_{3}=13$.
Решение.
Найдём разность арифметической профессии $\displaystyle d=a_{2}-a_{1},d=10-7=3$.
Найдём $\displaystyle a_{4}$ и $\displaystyle a_{5}$: а^ = аз + d, 04 = 13 + 3 = 16;
$\displaystyle a_{4}=a_{3}+d,\; a_{4}=13+3=16;$
$\displaystyle a_{5}=a_{4}+d,\; a_{5}=16+3=19.$
Ответ: 65.
Пример 3. Дана арифметическая прогрессия: 5, 11, 17, ... . Найдите сумму первых семи её членов.
Решение.
Зная, что $\displaystyle a_{1}=5$ и $\displaystyle a_{2}=11$, найдём разность арифметической прогрессии $\displaystyle d=a_{2}-a_{1},\; d=11-5=6$.
По формуле $\displaystyle a_{n}=a_{1}+d(n-1)$ найдём $\displaystyle a_{7}$.
$\displaystyle a_{7}=5+6(7-1)=5+6\cdot 6=5+36=41$.
Сумму первых семи членов арифметической прогрессии найдём по формуле $\displaystyle S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\cdot n.$
Так как $\displaystyle a_{1}=5,a_{7}=41,n=7$, то получим $\displaystyle S_{7}=\frac{5+41}{2}\cdot 7=\frac{46}{2}\cdot 7=23\cdot 7=161.$
Ответ: 161.
Пример 4. Последовательность задана формулой $\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2$ и условием $\displaystyle a_{1}=5$. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности.
Решение.
По определению числовая последовательность, заданная формулой $\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2$, является арифметической прогрессией с разностью 2.
Сумму первых шести членов арифметической профессии найдём по формуле $\displaystyle S=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$.
Имеем $\displaystyle a_{1}=5,n=6$ и $\displaystyle d=2$.
Следовательно, $\displaystyle S_{6}=\frac{2\cdot 5+2\cdot (6-1)}{2}\cdot 6=\frac{10+10}{2}\cdot 6=60.$
Ответ: 60.