Правила раскрытия скобок. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 15

Правила раскрытия скобок:
• Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок все слагаемые остаются без изменений. Например, $2a + (3b - c + 4) = 2a + 3b - c + 4.$
• Если перед скобками стоит знак «—», то при раскрытии скобок каждое слагаемое меняет знак на противоположный. Например, $4x - (y - 6z - 5) = 4x - y + 6z + 5.$
• Если перед скобками (или после скобок) стоит множитель, то при раскрытии скобок каждое слагаемое умножается на этот множитель. При подсчёте этих произведений следует учитывать как знак множителя за скобками, так и знаки слагаемых внутри скобок.
Рассмотрим два примера:
$(5a - b - 8) \cdot 4c = 5a \cdot 4c + (-b) \cdot 4c+ (-8) \cdot 4c = 20ac - 4bc - 32c;$
$-2x(3y - z + 4) = (-2x) \cdot 3y + (-2x) \cdot (-z) + (-2x) \cdot 4 = -6xy + 2xz - 8x.$
Пример 1. Упростите выражение $(6 - c) \cdot 4a + 4ac$ и найдите его значение при $\displaystyle a=\sqrt{2},\; b=2\sqrt{2},\; c=3\sqrt{2}$.
Решение.
$(b - c) \cdot 4a + 4ac = 4ba - 4ca + 4ac = 46a.$ Подставляя вместо $a$ и $b$ указанные в условии числа, получаем $4ba = 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$
Ответ: $16\$.
Пример 2. Упростите выражение $3ac - a(c - 3b) - 3ab$ и найдите его значение при $\displaystyle a=\sqrt{3},\; b=5\sqrt{3},\; c=3\sqrt{3}$.
Решение.
$3ac - a(c - 3b) - 3ab = 3ac - a - c - a - (-3b) - 3ab = 3ac - ac + 3ab - 3ab = 2ac$. Подставляя вместо $a$ и $c$ указанные в условии числа, получаем $\displaystyle 2ac=2\cdot \sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\cdot 3\cdot 3=18.$
Ответ: $18.$
Если требуется раскрыть произведение, состоящее из нескольких скобок, то скобки следует раскрывать поочерёдно. Например:
$(3a - 2b) (4x - 5y) = 3a(4x - 5y) - 2b(4x - 5y) = 3a \cdot 4x + 3a \cdot (-5y) + (-2b) \cdot 4x + (-2b) \cdot (-5y) =$
$= 12ax - 15ay - 8bx + 10by.$
В этом примере мы сначала раскрыли первые скобки $(3a - 2b)$, а затем вторые скобки $(4x - 5y)$. Но можно было сделать и по-другому, начав с раскрытия вторых скобок:
$(3a - 2b)(4x - 5y) = (3a - 2b) \cdot 4x + (3a - 2b) \cdot (-5y) = 3a \cdot 4x + (-2b) \cdot 4x + 3a \cdot (-5y) + (-2b) \cdot (-5y) =$
$= 12ax - 5bx - 15ay + 10by.$
Пример 3. Упростите выражение $(a - 6) (b + 5) - ab + 6b$ и найдите его значение при $\displaystyle a=7,\; b=3+4\sqrt{7}.$
Решение.
$(a - 6)(b + 5) - ab + 6b = a(b + 5) - 6(b + 5) - ab + 6b = ab + 5a - 6b - 30 - ab + 6b = 5a - 30.$
Подставляя $a = 7$, получаем $5a - 30 = 5 \cdot 7 - 30 = 35 - 30 = 5.$
Ответ: $5.$