Решение задач на проценты. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 3. Урок 62

1% — это $\frac{1}{100}$ часть от целого, 25% — это $\frac{25}{100}=0,25$ от целого.
Процент от числа находится умножением.
Например, надо найти 20% от числа 250. Делаем так: $250\cdot \frac{20}{100}=50$.
Число по его проценту находится делением.
Например, надо найти число, если 25% его составляет 35.
Делаем так: $35:\frac{25}{100}=\frac{35\cdot 100}{25}=140$.
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, надо найти отношение этих чисел и результат умножить на 100%.
Например, надо найти, сколько процентов число 4 составляет от числа 8.
Делаем так: $\frac{4}{8}\cdot 100 \%=50 \%$.
Задача 1. Когда туристы прошли 35 километров, то оказалось, что пройденный путь составляет 20% от всего пути. Сколько километров составляет весь путь туристов?
Решение.
Пусть весь путь составляет $x$ километров. Тогда
35 км — 20%,
$x$ км — 100%.
Из пропорции $35:x=20:100$ находим
$x=\frac{35\cdot 100}{20}=175$. Весь путь туристов — 175 километров.
Ответ: 175.
Задача на расчёт дохода по вкладу
Задача 2. Клиент открыл в банке счёт и положил на срочный вклад 2000 рублей. Определите сумму вклада через 2 года, если банк начисляет ежегодно проценты по ставке 12% годовых и дополнительных вложений не поступало.
Решение.
Сумма в 2000 рублей, положенная на банковский счёт под 12% годовых, через год возрастёт до величины $2000\cdot 1,12=2240$ (рублей). Так как банк начисляет проценты ежегодно на имеющуюся сумму, то за второй год 12% будет начисляться от суммы 2240 рублей, и, следовательно, сумма возрастёт до $2240\cdot 1,12=2508,8$ (рублей).
Ответ: 2508,8.
Концентрация вещества
Если $m$ — масса раствора, $p$ — концентрация вещества по массе, выраженная в процентах, $x$ — масса чистого вещества, то $\displaystyle x=\frac{p}{100}\cdot m,\; m=\frac{100x}{p}.$
Например, если имеется 20 г раствора, содержащего 7% сахара, то сахара в растворе $\displaystyle 20\cdot \frac{7}{100}=1,4$(г). Если имеется 50 г раствора, в котором 15 г чистого вещества, то концентрация чистого вещества в растворе равна $\displaystyle \frac{15}{50}\cdot 100\%=30\%.$
Задача 3. Смешали два раствора уксуса: первый массой 200 г, второй — 300 г. Концентрация первого раствора 9%, второго — 12%. Какова концентрация полученного раствора?
Решение.
Концентрация первого раствора уксуса массой 200 г составляет 9%. То есть уксусной кислоты в этом растворе $\displaystyle \frac{200\cdot 9}{100}=18$(г).
Концентрация второго раствора уксуса массой 300 г составляет 12%. Это означает, что уксусной кислоты в этом растворе $\displaystyle \frac{300\cdot 12}{100}=36$(г).
После того как смешали два раствора, масса нового раствора составила 200 + 300 = 500 (г), а уксусной кислоты в этом растворе стало 36+18 = 54 (г). Концентрация составляет
$\displaystyle \frac{54}{500}\cdot 100\%=10,8\%.$
Ответ: 10,8.
Задача 4. Саша прочитала 40 страниц книги, что составило 20% от всех страниц этой книги. Сколько страниц в книге?
Решение.
В задаче необходимо найти число всех страниц, значит, надо $\displaystyle 40:\frac{20}{100}=\frac{40\cdot 100}{20}=200$(c.).
Ответ: 200.
Задача 5. Диск с компьютерной игрой стоит 1500 рублей. Скидка в день распродажи равна 15%. Сколько стоит этот диск со скидкой в день распродажи?
Решение.
Стоимость данного диска без скидки составляет 100%, скидка равна 15%. Значит, стоимость диска со скидкой составляет 100% - 15% = 85% от цены без скидки. 85% — это 0,85 от 1500 рублей.
$\displaystyle 1500\cdot 0,85=1275$ рублей.
Ответ: 1275.
Задача 6. В аквариуме 30 мальков и 20 взрослых рыбок. Сколько процентов от всех обитателей аквариума составляют мальки?
Решение.
Всего в аквариуме 30 + 20 = 50 обитателей. Мальки составляют $\displaystyle \frac{30}{50}\cdot 100\%=60\%$ от всех обитателей аквариума.
Ответ: 60.
Задача 7. Билет на экскурсию для взрослого стоит 160 рублей. Стоимость билета для ребёнка до 10 лет составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 16 детей до 10 лет и 4-х взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
Решение.
Стоимость билета для ребёнка составляет 50% от 160 рублей, то есть $\displaystyle 160\cdot 0,5=80$ рублей. 16 детских билетов по 80 рублей стоят $\displaystyle 80\cdot 16=1280$ рублей. 4 взрослых билета по 160 рублей стоят $\displaystyle 160\cdot 4=640$ рублей. Билеты на всю группу стоят 1280 + 640 = 1920 рублей.
Ответ: 1920.
Задача 8. За один день дорожная бригада в среднем ремонтирует 2% от всей протяжённости дороги. Сколько дней потребуется этой бригаде для ремонта всей дороги?
Решение.
Протяжённость всей дороги составляет 100%. За один день рабочие ремонтируют 2% от всей протяжённости дороги, значит, на ремонт всей дороги им потребуется $\displaystyle \frac{100}{2}=50$ дней.
Ответ: 50.