Текстовые задачи на пропорции и части. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 3. Урок 61

Пропорции и части
• Равенство двух отношений называют пропорцией.
• В пропорции $a:b=c:d$, или $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, числа $a$ и $d$ называются крайними членами, а числа $b$ и $c$ — средними членами пропорции.
• В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов, т. е. $\displaystyle a\cdot d=b\cdot c$.
• Неизвестный крайний член пропорции равен произведению средних членов, делённому на известный крайний член.
Например, $\displaystyle x:5=8:4,x=\frac{5\cdot 8}{4}=10$.
• Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов, делённому на известный средний.
Например, $\displaystyle 9:3=x:2,x=\frac{9\cdot 2}{3}=6$.
Задача 1. Автобус Москва — Волгодонск отправляется в 19:50, а прибывает в 15:50 на следующий день (время московское). Сколько часов автобус находится в пути?
Решение.
Так как минуты времени отправления и прибытия одинаковые, можно их уменьшить и заменить на 00. Нужно посчитать, сколько часов пройдет от 19.00 до 15.00 следующего дня. В первый день пройдет 24 - 19 = 5 часов, во второй еще 15 часов, всего 15+5=20 часов.
Ответ: 20.
Задача 2. В доме, в котором живет Пётр Иванович, один подъезд. На каждом этаже по четыре квартиры. Пётр Иванович живет в квартире 27. На каком этаже живет Пётр Иванович?
Решение.
Разделим 27 на 4. Получится 6 и 3 в остатке. Шесть этажей заполнилось полностью, и ещё 3 квартиры расположены на 7-м этаже. Значит, Пётр Иванович живет на 7-м этаже.
Ответ: 7.
Задача 3. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 2 рубля 30 копеек. Счётчик электроэнергии 1 мая показывал 634126 киловатт- часов, а 1 июня показывал 634308 киловатт-часов. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за май?
Решение.
Найдем разницу показаний счётчика. Первые три цифры одинаковы, их можно не учитывать. Разница равна 308 - 126 = 182. Найдем, сколько рублей нужно заплатить за 182 киловатт-часа. $\displaystyle 182\cdot 2,3=418,6$ рублей.
Ответ: 418,6.
Задача 4. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 7%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Маруся хочет положить на счёт своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приёмное устройство данного терминала?
Решение.
1-й способ.
Составим неравенство. Если в терминал положить $x$ рублей, то на счёт телефона пойдет $\displaystyle x\cdot 0,93$ рублей, что по условию не меньше 300. Получаем $\displaystyle x\cdot 0,93\geq 300,x\geq 322,5...$. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям, поэтому Маруся должна положить 330 рублей.
2-й способ.
7% от 300 — это $$\displaystyle 300\cdot 0,07=21$. Получили, что терминал возьмет комиссию более 21 рубля. Проверим, хватит ли 330 рублей. $\displaystyle 330-330\cdot 0,07=306,9$, что больше 300. Значит, 330 рублей хватит.
Ответ: 330.
Задача 5. Масса холодильника 45 кг, а масса упаковки 3 кг 600 г. Найдите отношение массы холодильника к массе упаковки.
Решение.
3 кг 600 г = 3,6 кг. Отношение массы холодильника к массе упаковки равно $\displaystyle \frac{45}{3,6}=\frac{450}{36}=\frac{50}{4}=12,5.$
Ответ: 12,5.
Задача 6. В стоимость путёвки входит проезд и проживание. Стоимость проезда — 5400 руб., а стоимость проживания — 30 600 руб. Какую часть от всей стоимости путёвки составляет проживание?
Решение.
Общая стоимость путёвки равна 30600 + 5400 = = 36000 (руб.). Чтобы определить, какую часть от всей стоимости путёвки составляет проживание, найдём отношение стоимости проживания к общей стоимости: $\displaystyle \frac{30600}{36000}=0,85$.
Ответ: 0,85.
Задача 7. Провод длиной 286 м разрезан на 5 кусков, длины которых относятся как 3:4:5:6:8. Найдите длину меньшего из полученных кусков.
Решение.
Пусть $x$ м — длина одной части. Тогда длины полученных кусков провода соответственно равны $3x, 4x, 5x, 6x$ и $8x$. Следовательно,
$\displaystyle 3x+4x+5x+6x+8x=286;\; 26x=286;\; x=11;$
11 м приходится на одну часть. Следовательно, длина меньшего из полученных кусков проволоки равна $\displaystyle 3\cdot 11=33$(м).
Ответ: 33.
Задача 8. За 5 кг фруктов заплатили 820 рублей. Сколько следует заплатить за 3 кг таких фруктов?
Решение.
Пусть 3 кг фруктов стоят $x$ рублей. Тогда, согласно условию,
5 кг — 820 рублей,
3 кг — $x$ рублей.
Так как стоимость товара прямо пропорциональна количеству товара, то справедливо равенство $\displaystyle 5:3=820:x$. По правилу нахождения крайнего члена пропорции находим $\displaystyle x=\frac{3\cdot 820}{5}=492.$
3 кг фруктов стоят 492 рубля.
Ответ: 492.
Задача 9. С помощью 5 одинаковых труб бассейн заполняется водой за 48 минут. За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью 8 таких труб?
Решение.
Пусть с помощью 8 труб бассейн можно заполнить за $x$ минут. Тогда, согласно условию,
5 труб — 48 мин,
8 труб — $x$ мин.
Так как время заполнения бассейна обратно пропорционально количеству труб, то справедливо равенство $5:8=x:48$. По правилу нахождения среднего члена пропорции получаем $\displaystyle x=\frac{5\cdot 48}{8}=30$.
8 труб заполнят бассейн за 30 минут.
Ответ: 30.