Треугольник и окружность. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 55

В любой треугольник можно вписать окружность, которая будет касаться каждой из его сторон, т. е. иметь с ней одну общую точку. Такая окружность — единственная. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник (см. рис.1).

Рис.1

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, которая проходит через все его вершины. Такая окружность — единственная. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника (см. рис.2).

Рис.2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности ($\displaystyle S=p\cdot r,p=\frac{a+b+c}{2}$)
Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности $\displaystyle \left ( S=\frac{abc}{4R} \right )$.
Если треугольник $ABC$ вписан в окружность и $\displaystyle \angle C=90^{\circ}$, то $AB$ — диаметр (см. рис. 3). В этом случае радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Рис.3

Если в треугольнике один из углов опирается на диаметр описанной окружности, то этот угол — прямой.
Задача 1. На рисунке 4 окружность с центром $O$ описана вокруг $\displaystyle \bigtriangleup ABC$. Найдите радиус окружности.

Рис.4

Решение.
$\displaystyle \angle ACB$ опирается на диаметр. Значит, $\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$, по теореме Пифагора $\displaystyle AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=25$,
$\displaystyle AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 25=12,5.$
Ответ: 12,5.
Задача 2. В окружность вписан треугольник. Найдите градусную меру большей из дуг окружности, используя рисунок 5.
Решение.
$\displaystyle \angle MPK$ вписанный, опирается на дугу $MK$.

Рис.5

$\displaystyle \angle MPK=\frac{1}{2}\smile MK$, поэтому $\displaystyle \smile MK=2\cdot 80^{\circ}=160^{\circ}$.
Аналогично $\displaystyle \smile MP=2\cdot 35^{\circ}=70^{\circ}$. $\displaystyle \smile PK=360^{\circ}-160^{\circ}-70^{\circ}=130^{\circ}$. Большая дуга равна 160°.
Ответ: 160.