Окружность и круг. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 54

Окружность и круг
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра окружности). Пример окружности изображён на рисунке 1.

Рис.1

Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности, называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр — это наибольшая хорда окружности. Диаметр в 2 раза больше радиуса.
На рисунке 2 точка $O$ — центр окружности, $OA$ и $OB$ — радиусы, $AB$ и $CD$ — хорды, при этом $AB$ — диаметр.

Рис.2

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 3 обозначены $\displaystyle \smile ANB$ и $\displaystyle \smile AMB$ — дуги, ограниченные точками $A$ и $B$. Если из контекста понятно, о какой дуге идёт речь, то её обозначают только с помощью двух граничных точек, например, $\displaystyle \smile AB$ (см. рис. 3).

Рис.3                                                     Рис.4

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (см. рис.4).
Взаимное расположение прямой и окружности
Окружность и прямая могут иметь две общие точки (см. рис.5 а), одну общую точку (см. рис.5 б) или не иметь общих точек (см. рис.5 в).

Рис.5

Если общих точек 2, то прямая называется секущей (см. рис. 5 а), если такая точка одна, то прямая называется касательной (см. рис. 5 б).
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. На рисунке 6 касательная $\displaystyle a\perp OA$.

Рис.6

Взаимное расположение двух окружностей

Рис.7

Две окружности могут не иметь общих точек (см. рис. 7), иметь одну общую точку (см. рис. 8) либо иметь две общие точки (см. рис. 9).

Рис.8                                                   Рис.9

Если две окружности касаются, их центры и точка касания лежат на одной прямой (см. рис. 10).

Рис.10

$\displaystyle O_{1}O_{2}=O_{1}A+AO_{2},\; O_{3}O_{4}=O_{3}M-O_{4}M$.
Длина окружности и площадь круга
Если радиус окружности равен $R$, то длина окружности $\displaystyle l=2\pi R$, а площадь круга, ограниченного данной окружностью, $\displaystyle S=\pi R^{2}$. Зная диаметр $\displaystyle (d)$, можно найти длину окружности как $\displaystyle l=\pi d$, а площадь круга как $\displaystyle S=\frac{\pi d^{2}}{4}$.
Углы, связанные с окружностью
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным (см. рис. 11). Угловая величина дуги равна величине центрального угла, на неё опирающегося.

Рис.11                                                      Рис.12

Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным (см. рис.12).
Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. На рисунке 13 $\displaystyle \angle ABC=\angle AMC$.

Рис. 13

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. На рисунке 14 $\displaystyle \alpha =\frac{1}{2}\left ( \smile AMB+\smile CND \right ).$

Рис.14

Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. На рисунке 15 угол $\displaystyle \alpha =\frac{1}{2}\left ( \smile AMB-\smile CND \right )$.

Рис.15                                                     Рис.16

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними, $\displaystyle \alpha =\frac{1}{2}\smile AMB$ на рисунке 16.
Длина дуги и площадь сектора
Рассмотрим дугу окружности радиуса $R$ и центральный угол, на неё опирающийся. Если величина центрального угла (в градусах) равна $\displaystyle \alpha$, то длина дуги равна $\displaystyle \frac{\pi R\alpha }{180}$. Например, если
$\displaystyle \alpha =60^{\circ},R=5$, то длина дуги $\displaystyle \smile AB$ равна $\displaystyle \frac{5\pi \cdot 60}{180}=\frac{5\pi }{3}$ (см. рис.17).

Рис.17

Круговым сектором (или просто сектором) называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора ($\displaystyle \smile AB$ на рисунке 18). Если её величина равна $\displaystyle \alpha$ (в градусах), то площадь сектора равна $\displaystyle \frac{\pi R^{2}}{360}\alpha$, где $R$ — радиус окружности.

Рис.18

Задача 1. В окружности с центром $O$ (см. рис.19) найдите градусную меру $\displaystyle \angle ABC$, если $\displaystyle \angle AOC=82^{\circ}$.

Рис.19

Решение.
$\displaystyle \angle ABC$ - вписанный, $\displaystyle \angle AOC$ - центральный, они опираются на дугу $AC$, поэтому $\displaystyle \angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{82^{\circ}}{2}=41^{\circ}$.
Ответ: 41.
Задача 2. Найдите длину отрезка $AC$ секущей, используя рисунок 20. $O$ — центр окружности, $B$ — точка касания.

Рис.20

Решение.
$\displaystyle OB=OC=OM=10$ — радиусы окружности. $\displaystyle AC=OA+OC$. Найдём $OA$ из прямоугольного $\displaystyle \bigtriangleup OAB$ ($\displaystyle OB\perp BA$ как радиус, проведённый в точку касания). По теореме Пифагора $\displaystyle OB^{2}+BA^{2}=OA^{2}$.
$\displaystyle OA=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26$. Тогда $\displaystyle AC=26+10=36$.
Ответ: 36.