Описанные и вписанные окружности (задачи). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 18

Задача 7. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 8). Найдите радиус окружности.

Рис. 8.

Решение.
У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то есть
$\displaystyle BC+AD = DC+AB$ . Поэтому $\displaystyle AD+CB=\frac{P}{2}=42:2=21.$
Наибольшая боковая сторона $CB = 12$ , отсюда $AD = 21-12 = 9$ . Так как $\displaystyle AD\perp AB$ , то $MK = AD = 2R$ , где $R$ — радиус вписанной окружности. Тогда $R = 9 : 2 = 4,5$ .
Ответ: 4,5.
Задача 8. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36 (см. рис. 9). Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.

Рис. 9.

По теореме синусов $\displaystyle \frac{MP}{\sin K}=2R,$ где $R$ — радиус описанной около $\displaystyle \bigtriangleup KMP$ окружности. Пусть $MP = PK - 30, MK = 36$ . Проведём высоту $PH$ (см. рис. 10). В равнобедренном треугольнике $KMP$ высота $PH$ является медианой, $MH = HK = 18.$ Найдём $PH$ по теореме Пифагора.
$\displaystyle PH=\sqrt{PK^{2}-HK^{2}}=\sqrt{30^{2}-18^{2}}=\sqrt{576}=24.\; \sin K=\frac{PH}{PK}=\frac{24}{30}=0,8.$

Рис. 10.

$\displaystyle R=\frac{MP}{2 \cdot \sin K}=\frac{30}{0,8\cdot 2}=18,75.$
Ответ: 18,75.
Задача 9. Угол $C$ треугольника $ABC$ , вписанного в окружность радиусом 12, равен 30° (см. рис. 11). Найдите сторону $AB$ этого треугольника.
Решение.
По теореме синусов для радиуса описанной окружности $R$ выполняется $\displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin C}.$
$\displaystyle AB=2R\sin C=2\cdot 12\cdot \sin 30^{\circ}=2\cdot 12\cdot 0,5=12.$

Рис. 11.

Ответ: 12.
Задача 10. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 14. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, значит, гипотенуза — диаметр. Тогда гипотенуза равна $2 \cdot 14 = 28.$
Ответ: 28.
Задача 11. Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 80. Радиус описанной окружности равен 41 (см. рис. 12). Найдите высоту трапеции, если центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

Рис. 12.

Решение.
Проведём высоту $HK$ через центр окружности $O, H$ и $K$ будут лежать на серединах оснований (см. рис. 13). $\displaystyle \bigtriangleup AOK$ и $\displaystyle \bigtriangleup DHO$ — прямоугольные, $\displaystyle HO^{2}=OD^{2}-DH^{2}=41^{2}-9^{2}=1600,\; HO=40.\; OK^{2}=AO^{2}-AK^{2}=41^{2}-40^{2}=81,\; OK=9.$
$\displaystyle HK=HO+OK=40+9=49.$