Описанные и вписанные окружности (задачи). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 19

Задача 12. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, являются вершинами четырёхугольника ABCD. Градусные величины углов A, B и D относятся соответственно как 5:2:6 (см. рис. 14). Найдите угол С четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
vpys_okr_044

Рис. 14.

Решение.
Четырёхугольник ABCD — вписанный, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°.
По условию, \displaystyle \angle A:\angle B:\angle D=5:2:6.
Обозначим \displaystyle \angle A=5x,\; \angle B=2x,\; \angle D=6x.
\displaystyle \angle B+ \angle D=180^{\circ},\; 8x=180^{\circ},\; x=22,5^{\circ}.
\displaystyle \angle C=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-5x=180^{\circ}-112,5^{\circ}=67,5^{\circ}.
Ответ: 67,5.
Задача 13. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 7 (см. рис. 15).
vpys_okr_046

Рис. 15.

Решение.
Если прямоугольник вписан в окружность, то центр этой окружности лежит на середине его диагонали, то есть диагональ в 2 раза больше радиуса. \displaystyle AC=2\cdot 7=14.
Ответ: 14.
Задача 14. Периметр правильного шестиугольника равен 612 (см. рис. 16). Найдите диаметр описанной окружности.
Решение.
vpys_okr_048

Рис. 16.

Проведём диагонали AD, FC, BE (см. рис. 17). В правильном шестиугольнике все стороны и углы равны, а диаметр описанной окружности проходит через противоположные вершины, например F и C. Треугольники, на которые разбился ABCDEF, правильные, то есть FO = OA = AF. Диаметр FC в 2 раза больше стороны шестиугольника, FC = 2AB = P : 3 = 612 : 3 = 204.
vpys_okr_050

Рис. 17.

Ответ: 204.
Задача 15. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD (см. рис. 18), считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите значение радиуса, умноженное на \displaystyle \sqrt{2}.
vpys_okr_052

Рис. 18.

Решение.
Построим окружность (см. рис. 19).
Так как квадрат — фигура симметричная, точки касания P и K являются серединами его сторон. Видно, что радиус равен половине PK. Найдём PK по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PKH.
vpys_okr_054

Рис. 19.

\displaystyle PK=\sqrt{PH^{2}+KH^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}. Радиус равен \displaystyle \sqrt{8}:2. Значение радиуса, умноженное на \displaystyle \sqrt{2}, равно
\displaystyle \sqrt{8}:2\cdot \sqrt{2}=2.
Ответ: 2.
Задача 16. Найдите среднюю линию трапеции ABCD (см. рис. 20), если стороны клеток равны \displaystyle \sqrt{8}.
vpys_okr_056

Рис. 20.

Решение.
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон трапеции (см. рис. 21).
vpys_okr_058

Рис. 21.

Назовём её KM и найдём из прямоугольного треугольника KMO. Длина трёх клеток равна \displaystyle 3\sqrt{8}. Тогда
\displaystyle KM=\sqrt{KO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{8})^{2}+(3\sqrt{8})^{2}}=\sqrt{144}=12.
Ответ: 12.


Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • Одноклассники
  • Яндекс.Закладки
  • Blogger
  • RSS
  • Блог Я.ру
  • Сто закладок
  • Блог Li.ру
  • Yahoo! Bookmarks
  • БобрДобр
  • MySpace
  • Reddit
  • FriendFeed
  • В закладки Google
  • Google Buzz
  • LinkedIn
  • StumbleUpon
  • Technorati
  • del.icio.us
  • Digg
  • MisterWong.RU
  • Memori.ru
  • МоёМесто.ru
  • 豆瓣
  • 豆瓣九点

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×