Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 20

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ равен 90°.

Стороны $BC$ и $AC$ называются катетами, сторона $AB$ называется гипотенузой. Для угла $A$ прилежащий катет $AC$ (лежит на стороне угла), противолежащий катет $BC$.
Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.$
Например, $AC = 5, BC = 12$. Найдём $AB$.
В нашем треугольнике $AB$ — гипотенуза, $\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$, $\displaystyle AB^{2}=25+144=169$, $\displaystyle AB=\sqrt{169}=13$. Теперь разберём случай, когда нужно найти катет. Пусть $AB = 10, AC = 8$. Найдём $BC$.
$\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$, отсюда $\displaystyle BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}$, $\displaystyle BC^{2}=10^{2}-8^{2}=100-64=36,\; BC=\sqrt{36}=6.$
Теперь вспомним определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для нашего треугольника $\displaystyle \sin A=\frac{BC}{AB};\; \sin B=\frac{AC}{AB}.$
Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для нашего треугольника $\displaystyle \cos A=\frac{AC}{AB};\; \cos B=\frac{BC}{AB}.$
Обратите внимание, в одном и том же прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, т.е. $\displaystyle \sin A=\cos B,\; \sin B=\cos A.$
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Для нашего треугольника $\displaystyle tg A=\frac{BC}{AC},\; tg B=\frac{AC}{BC}.$
Видно, что $\displaystyle tg A=\frac{\sin A}{\cos A}.$
Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла, если известен косинус этого угла, и наоборот.
$\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1,$ или для острого угла $\displaystyle \sin A=\sqrt{1-cos^{2}A};\; \cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}.$
Задача 1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90°, $AB$ = 20, $AC$ = 16. Найдите $\displaystyle \sin A$.
Решение.
Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора, $\displaystyle AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}.$ найдём противолежащий углу $A$ катет $BC$ (см. рис. 1).

$\displaystyle BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}$, $\displaystyle BC^{2}=20^{2}-16^{2}=400-256=144,\; BC=\sqrt{144}=12.$
$\displaystyle \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{20}=0,6.$
Ответ: 0,6.
Задача 2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90°, $\displaystyle \cos A=0,28$. Найдите $\displaystyle \sin A$.
Решение.
Так как угол $A$ - острый, то $\displaystyle \sin A=\sqrt{1-cos^{2}A}=\sqrt{1-0,28^{2}}=\sqrt{0,9216}=0,96.$
Ответ: 0,96.
Задача 3. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90°, $\displaystyle AC=\sqrt{91},\; BC=3.$ Найдите $\displaystyle \cos B$.
Решение.
Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$ (см. рис. 2). $\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$, отсюда $\displaystyle AB^{2}=3^{2}+(\sqrt{91})^{2}=9+91=100;\; AB=\sqrt{100}=10.$
$\displaystyle \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{10}=0,3.$

Ответ: 0,3.
Задача 4. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90°, $\displaystyle tg A=\sqrt{15}$. Найдите $\displaystyle \cos A$.
Решение.
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, угол $A$ острый, то для нашего треугольника
$\displaystyle tg A=\frac{BC}{AC}=\sqrt{15}$ и можно считать, что $\displaystyle BC=\sqrt{15}$,
$AC = 1$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$. $\displaystyle AB^{2}=1^{2}+(\sqrt{15})^{2}=1+15=16;\; AB=\sqrt{16}=4.$
$\displaystyle \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{4}=0,25.$
Ответ: 0,25.