Площади круга и сектора (задачи на клетчатой бумаге). Готовимся к егэ по математике. Геометрия. Урок 4

Площадь круга равна произведению числа \displaystyle \pi на квадрат радиуса:
\displaystyle S=\pi R^{2}.
Задача 1. Найдите площадь S круга, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 1). В ответе укажите \displaystyle \frac{S}{\pi }.
lys_ris21

Рис.1

Решение.
Площадь круга равна произведению числа \displaystyle \pi на квадрат радиуса. Найдём радиус. Из центра O проведём радиус OA. В треугольнике OAB сторона OA — гипотенуза, катеты равны 1 и 2 (см. рис. 2).
lys_ris22

Рис.2

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора. \displaystyle OA=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.
Площадь круга \displaystyle S=\pi (\sqrt{5})^{2}=5\pi .\; \frac{S}{\pi }=\frac{5\pi }{\pi }=5.
Ответ: 5.
Задача 2. На клетчатой бумаге нарисовано два круга (см. рис. 3). Площадь внутреннего круга равна 3. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
lys_ris23

Рис.3

Решение.
Радиус R внутреннего круга — 3 клетки, его площадь равна \displaystyle \pi R^{2}=3. Радиус внешнего круга — 6 клеток, то есть 2R, поэтому его площадь равна \displaystyle \pi (2R^{2})=3\cdot 4=12. Площадь заштрихованной фигуры равна разности 12 — 3 = 9.
Ответ: 9.
Площадь сектора с углом \displaystyle \alpha градусов равна \displaystyle \frac{\pi R^{2}\alpha }{360^{\circ}}.
Задача 3. Найдите площадь S сектора с углом 18 градусов и радиусом 4. В ответе укажите \displaystyle \frac{S}{\pi }.
Решение.
Посчитаем площадь сектора по формуле \displaystyle S=\frac{\pi R^{2}\alpha }{360}=\frac{\pi \cdot 4^{2}\cdot 18}{360}=0,8\pi \cdot \frac{S}{\pi }=0,8.
Ответ: 0,8.
Задача 4. Найдите площадь S заштрихованного сектора, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 4). В ответе укажите \displaystyle \frac{S}{\pi }.
lys_ris24

Рис.4

Решение.
На рисунке 4A) площадь круга с радиусом R = 2 равна \displaystyle \pi R^{2}=\pi \cdot 2^{2}=4\pi .
На рисунке 4В) площадь сектора составляет \displaystyle \frac{1}{4} от площади круга (если круг разделить на 4 равные части, то одна из них как раз и будет равна заданному сектору), то есть
\displaystyle \frac{\pi R^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 2^{2}}{4}=\pi.
Можно было решать задачу по-другому. Площадь сектора равна площади круга, делённой на 4.
\displaystyle S:4=4\pi :4=\pi.
Ответ: 1.
Задача 5. Найдите площадь S заштрихованных секторов на рисунках C и D, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 5).
lys_ris25

Рис.5

В ответе укажите \displaystyle \frac{S}{\pi }.
Решение. Посчитаем, какая часть круга закрашена. Проведя дополнительные линии (см. рис. 6), видим, что сектор на рисунке 6C) составляет - часть круга, а сектор на рисунке 6D) составляет
\displaystyle \frac{5}{8} частей круга (круг разделён на 8 равных частей, и закрашено 5 таких частей).
Находим площади секторов на рисунках 6C) и 6D).
lys_ris26

Рис.6

1-й способ.
Поделим площадь круга на 8, получим площадь сектора на рисунке 6C), потом умножим эту площадь на 5, получим площадь сектора на рисунке 6D).
\displaystyle S_{C}=4\pi :8=0,5\pi ;\; \frac{S}{\pi }=0,5;\; S_{D}=4\pi :8\cdot 5=2,5\pi ;\frac{S}{\pi }=2,5.
Ответ: 0,5 и 2,5.
2-й способ. Найдём площадь \displaystyle \frac{1}{8} круга.
\displaystyle S_{C}=\frac{1}{8}\cdot 4\pi =0,5\pi ;\; \frac{S}{\pi }=0,5;\; S_{D}=\frac{5}{8}\cdot 4\pi =2,5\pi ;\; \frac{S}{\pi }=2,5.
Ответ: 0,5 и 2,5.


Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • Одноклассники
  • Яндекс.Закладки
  • Blogger
  • RSS
  • Блог Я.ру
  • Сто закладок
  • Блог Li.ру
  • Yahoo! Bookmarks
  • БобрДобр
  • MySpace
  • Reddit
  • FriendFeed
  • В закладки Google
  • Google Buzz
  • LinkedIn
  • StumbleUpon
  • Technorati
  • del.icio.us
  • Digg
  • MisterWong.RU
  • Memori.ru
  • МоёМесто.ru
  • 豆瓣
  • 豆瓣九点

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×