В прямоугольном параллелепипеде стороны оснований и равны соответственно 8 и 5, а боковое ребро равно 4. На ребре отмечена точка , а на луче — точка , причём и . Плоскость пересекает ребро в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью .
Решение.
а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью (см. рис. 1).
— точка пересечения ребра и отрезка .
В плоскости проведём лучи и , пересекает в точке . В плоскости проведём отрезок , пересекает в точке , а — в точке . Пятиугольник — искомое сечение.
, значит, — средняя линия , отсюда , а так как , то — средняя линия ,
Рис.1
следовательно,
б) Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам , отсюда
как площадь равностороннего треугольника со стороной .
по первому признаку подобия (, - как вертикальные). Из подобия следует, . По доказанному в а), , тогда и . Так как - средняя линия , то
В равнобедренном прямоугольном треугольнике , тогда .
В , отсюда
— равносторонний.
Ответ: