Решение задачи №14 из банка заданий ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Решение задачи №6 из банка заданий ЕГЭ по математике (профильный уровень)

В прямоугольном параллелепипеде \displaystyle ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} стороны оснований AB и BC равны соответственно 8 и 5, а боковое ребро \displaystyle AA_{1} равно 4. На ребре \displaystyle A_{1}B_{1} отмечена точка K, а на луче BC — точка F, причём \displaystyle A_{1}K=KB_{1} и BF=AB. Плоскость AKF пересекает ребро \displaystyle B_{1}C_{1} в точке P.
а) Докажите, что \displaystyle B_{1}P:PC_{1}=4:1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AKF.

Решение.
а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью AKP (см. рис. 1).
E — точка пересечения ребра OC и отрезка AE.
В плоскости \displaystyle ABB_{1} проведём лучи AK и \displaystyle BB_{1}, AK пересекает \displaystyle BB_{1} в точке \displaystyle Q. В плоскости \displaystyle BCC_{1} проведём отрезок FQ, FQ пересекает \displaystyle B_{1}C_{1} в точке P, а \displaystyle CC_{1} — в точке R. Пятиугольник \displaystyle AKPRE — искомое сечение.
\displaystyle KB_{1}\parallel AB,\: KB_{1}=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}, значит, \displaystyle KB_{1} — средняя линия \displaystyle \bigtriangleup ABQ, отсюда \displaystyle BB_{1}=QB_{1}, а так как \displaystyle BF\parallel B_{1}P, то \displaystyle B_{1}P — средняя линия \displaystyle \bigtriangleup FBQ,
Решение задачи №14 из банка заданий ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Рис.1

\displaystyle BF=8,\: B_{1}P=\frac{1}{2}BF=4;\: C_{1}P=B_{1}C_{1}-B_{1}P=5-4=1,
следовательно, \displaystyle B_{1}P:PC_{1}=4:1.
б) Прямоугольные треугольники \displaystyle ABQ,\: FBQ и \displaystyle ABF равны по двум катетам \displaystyle AB=BF=BQ=8, отсюда \displaystyle AQ=AF=QF=8\sqrt{2}.
\displaystyle S_{AQF}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} как площадь равностороннего треугольника со стороной a. \displaystyle S_{AQF}=\frac{(8\sqrt{2})^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}=32\sqrt{3},\: S_{KQP}=\frac{1}{4}S_{AQF}=\frac{32\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}.
\displaystyle S_{AKPF}=S_{AQF}-S_{KQP}=32\sqrt{3}-8\sqrt{3}=24\sqrt{3}.
\displaystyle \bigtriangleup RCF\sim \bigtriangleup RC_{1}P по первому признаку подобия (\displaystyle \angle C=\angle C_{1}=90^{\circ}, \displaystyle \angle 1=\angle 2 - как вертикальные). Из подобия следует, \displaystyle \frac{CF}{PC_{1}}=\frac{FR}{PR}. По доказанному в а), \displaystyle PC_{1}=1,\: BF=AB=8, тогда \displaystyle CF=8-5=3 и \displaystyle \frac{FR}{PR}=\frac{3}{1}. Так как KP - средняя линия \displaystyle \bigtriangleup AQF, то \displaystyle PF=\frac{1}{2}QF=4\sqrt{2},\: FR=\frac{3PF}{4}=\frac{4\sqrt{2}\cdot 3}{4}=3\sqrt{2}.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике FCE \displaystyle FC=EC=3, тогда \displaystyle EF=3\sqrt{2}.
В \displaystyle \bigtriangleup REF \; FR=EF=3\sqrt{2},\: \angle RFE=60^{\circ}, отсюда
\displaystyle \bigtriangleup REF — равносторонний. \displaystyle S_{REF}=\frac{(3\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}.
\displaystyle S_{AKPRE}=S_{AKPF}-S_{REF}=24\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{39\sqrt{3}}{2}.
Ответ: \displaystyle \frac{39\sqrt{3}}{2}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × 4 =