Угол между двумя кривыми. Практикум по математическому анализу. Урок 36

Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 1) по формуле

$$\displaystyle tg\: \varphi =\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}},\; \; (2)$$

где $\displaystyle k_{1}$ и $\displaystyle k_{2}$ — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения $\displaystyle P(x_{0},y_{0})$,
т. е. частные значения в точке $\displaystyle x_{0}$ производных от $y$ по $x$ из уравнений этих кривых:

$$\displaystyle k_{1}=tg\: \alpha _{1}=\left ( \frac{dy_{1}}{dx} \right )_{x=x_{0}};\; k_{2}=tg\: \alpha _{2}=\left ( \frac{dy_{2}}{dx} \right )_{x=x_{0}}.$$

Рис.1

Пример 1. Найти углы, под которыми пересекаются следующие линии:
1) прямая $\displaystyle x+y-4=0$ и парабола $\displaystyle 2y=8-x^{2}$;
2) эллипс $\displaystyle x^{2}+4y^{2}=4$ и парабола $\displaystyle 4y=4-5x^{2}$;
3) синусоида $\displaystyle y=\sin x$ и косинусоида $\displaystyle y=\cos x$.
Решение.
1) Совместно решая уравнения параболы и прямой, находим, что они пересекаются в двух точках: $A(0;4)$ и $B(2;2)$, рис.2.

Рис.2

Далее находим производную от $y$ по $x$ из уравнения параболы: $\displaystyle 2y'=-2x,\: y'=-x$ и определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках $A$ и $B$, как частные значения этой производной:

$$\displaystyle y'_{A}=k_{A}=0;\; y'_{B}=k_{B}=-2.$$

Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точках; у данной прямой он равен — 1.
Согласно формуле (2) получим

$$\displaystyle \textrm{tg}\: A=1,\: A=45^{\circ};\; \textrm{tg}\: B=\frac{-1+2}{1+2}=\frac{1}{3},\; B\approx 18,5^{\circ}.$$

2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие точки: $A(1,2;-0,8), B(0;1)$ и $C(-1,2;-0,8)$ рис.3. Затем определяем угловые коэффициенты $\displaystyle k_{1}$ и $\displaystyle k_{2}$ касательных в любой точке эллипса и параболы как производные от $y$ по $x$ из их уравнений

$$\displaystyle k_{1}=-\frac{x}{4y};\; k_{2}=-\frac{5}{2}x.$$

Рис.3

Подставляя координаты точки $A$, получим $\displaystyle k_{1}=\frac{3}{8}$ и $\displaystyle k_{2}=-3$. Следовательно, в точке $A$:

$$\displaystyle \textrm{tg}\: \varphi =\frac{\frac{3}{8}+3}{1-\frac{9}{8}}=-27;\; \varphi \approx 92^{\circ}.$$

Под таким же углом кривые пересекаются и в точке $C$ вследствие их симметричности относительно оси $Oy$.
В точке $B$ имеем: $\displaystyle k_{1}=k_{2}=0$, следовательно, в точке кривые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга. В этой точке угол между кривыми равен нулю.
3) Абсциссы точек пересечения кривых (рис.4) определяются уравнением $\displaystyle \sin x=\cos x$, решая которое, получим

$$\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n\; (n=0,\pm 1,\pm 2,...).$$

Дифференцированием находим угловые коэффициенты касательных к синусоиде и косинусоиде: $\displaystyle k_{1}=\cos x;\: k_{2}=-\sin x.$

Рис.4

Искомый угол между кривыми определяем по общей формуле (2)
$\displaystyle \textrm{tg}\: \varphi =\frac{\cos x+\sin x}{1-\cos x\sin x}=\pm \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\pm 2\sqrt{2}.$
Положительному знаку соответствует острый угол $\displaystyle \varphi \approx 70,5^{\circ}$, отрицательному — тупой, смежный с ним угол $\displaystyle \varphi_{1} \approx 109,5^{\circ}$.