Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат (рис. 1), то уравнения касательной и нормали к ней в точке имеют вид:
где — значение в точке производной из уравнения кривой.
Рис.1
Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 2) по формуле
где и — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения ,
Рис.2
т. е. частные значения в точке производных от по из уравнений этих кривых:
Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали:
1) к параболе в точке, где ;
2) к окружности в точках пересечения ее с осью ;
3) к циклоиде в точке, где .
4) к кривой в ее угловой точке.
Решение. 1) Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу точки касания , найдем ее ординату .
Для определения углового коэффициента касательной находим производную от по из уравнения параболы и вычисляем ее частное значение в точке :
Подставляя значения и в общие уравнения (1), получим уравнение касательной
или
и уравнение нормали
или .
Парабола, касательная и нормаль построены на рис.3.
Рис.3
2) Решая совместно заданное уравнение окружности и уравнение оси , находим точки их пересечения: рис.4.
Рис.4
Дифференцируя по уравнение окружности
,
находим производную и вычисляем ее значения для точек и :
Подставляя в общие уравнения (1), получим искомые уравнения касательной и нормали:
для точки соответственно и ;
для точки и .
3) Подставляя в уравнения циклоиды находим координаты точки касания:
Затем определяем производную от по из уравнений циклоиды, как от функции, заданной параметрически
и вычисляем ее значение для точки касания
Подставляя значения и в уравнения (1), получим уравнение касательной и уравнение нормали .
4) Найдем производную и затем угловую точку данной кривой из условия, что для этой точки производная не существует, но существуют различные односторонние производные:
где плюс соответствует интервалу , в котором , а минус — интервалу , где . Отсюда заключаем, что точка, где является угловой; в этой точке кривая имеет две односторонние касательные с угловыми коэффициентами и . Пользуясь общими уравнениями (1), получим уравнения касательных и и уравнения нормалей и (рис.5).
Рис.5