Производные от функции, заданной параметрически. Практикум по математическому анализу. Урок 34

Производные от функции, заданной параметрически. Практикум по математическому анализу. Урок 34

Если функция y от независимой переменной x задана через посредство вспомогательной переменной (параметра) t:

\displaystyle x=f(t),\: y=\varphi (t),


то производные от y по x определятся формулами:

\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}};\; y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dx}{dt}};\; y'''=\frac{dy''}{dx}=\frac{\frac{dy''}{dt}}{\frac{dx}{dt}};...\; \; (A)


Все эти формулы составлены по одному общему правилу: производная от параметрически заданной величины z по независимой переменной x равна отношению производных от z и от x, взятых по параметру t.
Пример 1. Для следующих функций, заданных параметрически, найти указанные производные:
1) \displaystyle \left\{\begin{matrix} x=k\sin t+\sin kt,\\ y=k\cos t+\cos kt. \end{matrix}\right.
Найти \displaystyle \left ( \frac{dy}{dx} \right )_{t=0}.
Каков геометрический смысл результата?
2) \displaystyle \left\{\begin{matrix} x=\alpha ^{2}+2\alpha ,\\ y=\ln (\alpha +1). \end{matrix}\right.
Найти \displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
3) \displaystyle \left\{\begin{matrix} x=1+e^{a\varphi };\\ y=a\varphi +e^{-a\varphi }. \end{matrix}\right.
Найти \displaystyle \frac{d^{3}y}{dx^{3}}.
Решение. 1) Находим производные от x и от y по параметру t:
\displaystyle \frac{dx}{dt}=k\cos t+k\cos kt;\; \frac{dy}{dt}=-k\sin t-k\sin kt.
Искомая производная от y по x находится как отношение производных от y и от x по t:
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=-\frac{k(\sin t+\sin kt)}{k(\cos t+\cos kt)}=-\frac{2\sin \frac{t+kt}{2}\cos \frac{t-kt}{2}}{2\cos \frac{t+kt}{2}\cos \frac{t-kt}{2}}=-tg\: \frac{k+1}{2}t.
При t=0 получим \displaystyle \frac{dy}{dx}=0. Согласно геометрическому значению производной (§ 1) в точке \displaystyle (0;k+1), где t=0, касательная к графику данной функции параллельна оси Ox.
2) Находим производные от x и от y по параметру \displaystyle \alpha:
\displaystyle \frac{dx}{d\alpha }=2\alpha +2;\; \frac{dy}{d\alpha }=\frac{1}{\alpha +1}
и искомую производную от y по x:
\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\alpha }:\frac{dx}{d\alpha }=\frac{1}{2(\alpha +1)^{2}}=\frac{1}{2}(\alpha +1)^{-2}.
Далее находим производную от y' по \displaystyle \alpha, а затем искомую вторую производную от y по x как отношение производных от y' и от x по \displaystyle \alpha:
\displaystyle \frac{dy'}{d\alpha }=-(\alpha +1)^{-3};\: y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{dy'}{d\alpha }:\frac{dx}{d\alpha }=\frac{-(\alpha +1)^{-3}}{2(\alpha +1)}=-\frac{1}{2(\alpha +1)^{4}}.
3) Пользуясь общими формулами (А) для производных от функции, заданной параметрически, получим
\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\varphi }:\frac{dx}{d\varphi }=\frac{a-ae^{-a\varphi }}{ae^{a\varphi }}=e^{-a}-e^{-2a\varphi };
\displaystyle y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{dy'}{d\varphi }:\frac{dx}{d\varphi }=\frac{2ae^{-2a\varphi }-ae^{-a\varphi }}{ae^{a\varphi }}=2e^{-3a\varphi }-e^{-2a\varphi };
\displaystyle y'''=\frac{dy''}{dx}=\frac{dy''}{d\varphi }:\frac{dx}{d\varphi }=\frac{2ae^{-2a\varphi }-6ae^{-3a\varphi }}{ae^{a\varphi }}=2e^{-3a\varphi }-6e^{-4a\varphi }.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2 × пять =