Если функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра)
то производные от по определятся формулами:
Все эти формулы составлены по одному общему правилу: производная от параметрически заданной величины по независимой переменной равна отношению производных от и от , взятых по параметру .
Пример 1. Для следующих функций, заданных параметрически, найти указанные производные:
1)
Найти .
Каков геометрический смысл результата?
2)
Найти .
3)
Найти .
Решение. 1) Находим производные от и от по параметру :
Искомая производная от по находится как отношение производных от и от по :
При получим . Согласно геометрическому значению производной (§ 1) в точке , где , касательная к графику данной функции параллельна оси .
2) Находим производные от и от по параметру :
и искомую производную от по :
Далее находим производную от по , а затем искомую вторую производную от по как отношение производных от и от по :
3) Пользуясь общими формулами (А) для производных от функции, заданной параметрически, получим