Область определения (существования) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 4

Областью определения функции называется совокупность всех точек числовой оси, в которых она имеет определенные действительные значения.
Очевидно, для многих функций областью определения будет не вся числовая ось, а только некоторая ее часть. Так, для функции \displaystyle y=\sqrt{x} областью определения является полуоткрытый интервал \displaystyle 0\leq x<+\infty; для функции \displaystyle z=\frac{1}{x-1} область определения состоит из двух интервалов: \displaystyle -\infty <x<1 и \displaystyle 1<x<+\infty.

загрузка...

Основные элементарные функции имеют следующие области определения:
степенная функция \displaystyle y=x^{n} с рациональным положительным показателем \displaystyle n=\frac{\alpha }{\beta } при нечетном \displaystyle \beta определена на всей числовой оси \displaystyle -\infty <x<+\infty, а при четном \displaystyle \beta определена в интервале \displaystyle 0 \leq x<+\infty (при \displaystyle \beta =1 показатель n будет целым числом);

показательная функция \displaystyle y=a^{x},a>0 определена на всей числовой оси;

логарифмическая функция \displaystyle y=log_{a}x,a>0 определена в интервале \displaystyle 0<x<+\infty;

тригонометрические функции \displaystyle y=\sin x,y=\cos x определены на всей числовой оси; \displaystyle y=tg x,y=sec x определены на всей числовой оси, исключая точки \displaystyle x_{k}=(2k+1)\frac{\pi }{2},k=0,\pm 1,\pm 2,...; \displaystyle y=ctg\: x,y=cosec\: x определены на всей числовой оси, исключая точки \displaystyle x_{k}=\pi k;

обратные тригонометрические функции \displaystyle y=arcsin \: x,y=arccos\: x определены на отрезке \displaystyle -1\leq x\leq 1; \displaystyle y=arctg \: x,y=arcctg\: x определены на всей числовой оси.

При нахождении области определения элементарной функции, заданной формулой \displaystyle y=f(x), нужно обращать внимание на следующие элементы формулы:
1) на радикалы четной степени — функция будет определена только для тех значений x при которых их подкоренные выражения будут неотрицательны;
2) на знаменатели дробных выражений — функция будет определена только для тех значений x, при которых знаменатели отличны от нуля;
3) на трансцендентные функции \displaystyle \log x,tg\: x,ctg\: x,sec\: x,cosec\: x,arcsin\: x,arccos\: x, которые определены не всюду, а только при указанных выше значениях своего аргумента x.
Если эти перечисленные элементы отсутствуют в формуле \displaystyle y=f(x), то областью определения функции y будет вся числовая ось (исключая те случаи, когда область определения функции ограничивается специальными условиями задачи).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: