Область определения функции. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 5

Пример 1. Найти область определения каждой из следующих функций:
1) \displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}} ; 2) \displaystyle u=\frac{x-1}{x^{2}-5x+6}+\sqrt[3]{2x+1} ; 3) \displaystyle v=arccos\frac{1-2x}{3} ; 4) \displaystyle p=\frac{x}{\sin x} ; 5) \displaystyle q=log_{2}(x^{2}-9) .
Решение.
1) Поскольку аргумент x содержится под радикалом четной степени, то функция y будет иметь вещественные значения только при тех значениях x , при которых подкоренное выражение будет неотрицательно, т.е. \displaystyle 1-x^{2}\geq 0 . Решая это неравенство, получим


\displaystyle x^{2}\leq 1;\; \left | x \right |\leq 1;\; -1\leq x\leq 1.
Следовательно, область определения функции y есть отрезок [-1;1].

2) Здесь аргумент x содержится в знаменателе дроби. Поэтому x не может иметь тех значений, которые обращают знаменатель в нуль, так как деление на нуль не имеет смысла. Приравняв знаменатель нулю, найдем эти значения x :
\displaystyle x^{2}-5x+6=0;\; x_{1}=2,x_{2}=3.
Второе слагаемое в выражении функции u не накладывает никаких ограничений на значения x , поскольку показатель радикала нечетный. Следовательно, областью определения функции u является вся числовая ось, кроме точек x=2 и x=3 .

3) Функция v будет определена только для тех значений x , для которых \displaystyle -1\leq \frac{1-2x}{3}\leq 1 . Решив эти неравенства, получим
\displaystyle -\frac{4}{3}\leq -\frac{2}{3}x\leq \frac{2}{3};\; -1\leq x\leq 2.
Отрезок [-1;2] и является областью определения функции v .

4) Найдем значения x , которые обращают знаменатель функции p в нуль: \displaystyle \sin x=0;\; x_{k}=\pi k;\; k=0,\pm 1,\pm 2,... .
При этих значениях x функция p не имеет никаких значений.
Областью определения функции p является вся числовая ось, кроме точек \displaystyle x_{k} .

5) Логарифмическая функция q определена только для положительных значений своего аргумента (логарифмируемого выражения), поэтому \displaystyle x^{2}-9>0 .
Решая это неравенство, получим \displaystyle \left | x \right |>3 , откуда следует, что \displaystyle -\infty <x<-3 и \displaystyle 3 <x<+\infty , т. е. область определения функции q состоит из двух бесконечных интервалов \displaystyle (-\infty ;-3) и \displaystyle (3;+\infty ) .

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×