Параллельные и перпендикулярные прямые. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 44

Прямые, которые не пересекаются, называются параллельными.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. На рисунке 1 имеем $\displaystyle a\perp c$ и $\displaystyle b\perp c$, а значит, $\displaystyle a\parallel b$.

Рис.1                                                  Рис.2

Две прямые, параллельные третьей, также параллельны.
Например, если $\displaystyle a\parallel b$ и $\displaystyle b\parallel c$, то $\displaystyle a\parallel c$ (см. рис. 2).
Если точка $A$ не лежит на прямой $a$, то можно провести ровно одну прямую $b$, проходящую через точку $A$ и параллельную прямой $a$.
Рассмотрим две прямые, пересечённые третьей, которая называется секущей (см. рис. 3).

Рис. 3

$\displaystyle \angle 4$ и $\displaystyle \angle 5$, $\displaystyle \angle 3$ и $\displaystyle \angle 6$ накрест лежащие; $\displaystyle \angle 1$ и $\displaystyle \angle 5$, $\displaystyle \angle 4$ и $\displaystyle \angle 8$, $\displaystyle \angle 2$ и $\displaystyle \angle 6$, $\displaystyle \angle 3$ и $\displaystyle \angle 7$ соответственные; $\displaystyle \angle 4$ и $\displaystyle \angle 6$, $\displaystyle \angle 3$ и $\displaystyle \angle 5$ - односторонние.
• Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Верно и обратное. При пересечении параллельных прямых секущей (см. рис. 4) накрест лежащие углы равны ($\displaystyle \angle 4=\angle 5$, $\displaystyle \angle 3=\angle 6$), соответственные углы равны ($\displaystyle \angle 2=\angle 6,\angle 3=\angle 7,\angle 1=\angle 5,\angle 4=\angle 8$), а сумма односторонних углов равна 180° ($\displaystyle \angle 4+\angle 6=180^{\circ},\angle 3+\angle 5=180^{\circ}$).

Рис. 4

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, соединяющего две точки этих прямых.
Задача 1. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны (см. рис. 5).

Рис. 5

Решение.
$\displaystyle \angle DEB=\angle FEN=120^{\circ}$ (как вертикальные углы) и, следовательно, $\displaystyle \angle DEB=\angle ABM$.
Так как соответственные углы $DEB$ и $ABM$ равны, то прямые $a$ и $b$ параллельны.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Все точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалены от его концов (например, на рисунке 6 прямая $a$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а значит, $CA=CB$).

Рис.6                                                     Рис.7

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Рассмотрим пример (см. рис. 7). Если $\displaystyle OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}$ и $\displaystyle A_{1}B_{1}\parallel A_{2}B_{2}\parallel A_{3}B_{3}$, то $\displaystyle OB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}$.