Тетраэдр и пирамида. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 27

Объём тетраэдра и пирамиды (см. рис. 1) можно найти по формуле
$\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{OCH}h.$

Рис. 1.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы (высоты боковой грани, проведённой из вершины пирамиды, см. рис. 2):
$\displaystyle S_{bok}=\frac{1}{2}P_{OCH}l.$
Высота правильной пирамиды падает в центр её основания. Углом между ребром и плоскостью основания называют угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. На рисунке 3 $\displaystyle SABC$ — правильная пирамида,

Рис. 2.

$SO$ — высота. Тогда $O$ — центр основания $ABC$ . Угол между ребром $AS$ и плоскостью основания $\displaystyle \alpha =\angle SAO$ .

Рис. 3.

Углом между боковой гранью и плоскостью основания называют угол между апофемой боковой грани и проекцией этой апофемы на плоскость основания. На рисунке 4 $ABCS$ — правильная пирамида, $SH$ — апофема, $\displaystyle \beta =\angle AHS$ — угол между гранью $BSC$ и плоскостью основания $ABC$ .

Рис. 4.

Задача 1. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды (см. рис. 5) равны 16, боковые рёбра равны 17. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Рис. 5.

Решение.
Проведём апофему $EH$ (см. рис. 6). $EH$ — высота равнобедренного треугольника $ABE$ , поэтому является его медианой, и $\displaystyle AH=BH=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8.$
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AEH$ имеем $\displaystyle EH^{2}=AE^{2}-AH^{2};\; EH^{2}=17^{2}-8^{2}=225;\; EH=15.$ В основании пирамиды лежит квадрат с периметром $\displaystyle 4\cdot 16=64$ и площадью $\displaystyle 16^{2}=256$ . Искомая площадь равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
$\displaystyle S_{\Pi O\Lambda H}=S_{OCH}+\frac{1}{2}Pl=256+\frac{1}{2}\cdot 64\cdot 15=256+480=736.$

Рис. 6.

Ответ: 736.
Задача 2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60° (см. рис. 7). Высота пирамиды равна 12. Найдите объём пирамиды.

Рис. 7.

Решение.
По условию, высота пирамиды $\displaystyle EH=12$ . Из прямоугольного треугольника $\displaystyle EHG$ имеем $\displaystyle ctg\angle EGH=\frac{HG}{EH};\; HG=EH\cdot ctg60^{\circ}=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.$
Аналогично из прямоугольного треугольника $EHA$ получаем $\displaystyle HA=4\sqrt{3}$ . Площадь прямоугольника в основании
$\displaystyle S_{OCH}=AB\cdot AD=HG\cdot (2\cdot HA)=4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=96.$
Объём пирамиды
$\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{OCH}h=\frac{1}{3}\cdot 96\cdot 12=384.$
Ответ: 384.