Цилиндр. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 28

Для объёма и площади боковой поверхности цилиндра (см. рис. 1) справедливы те же формулы, что и для призмы:
$\displaystyle V=S_{OCH}h,\; S_{bok}=P_{OCH}h.$

Если радиус основания равен $r$, то площадь основания цилиндра равна $\displaystyle \pi r^{2}$, а периметр — $\displaystyle 2\pi r$. Тогда формулы объёма цилиндра, площадей боковой и полной поверхности цилиндра имеют вид

$$\displaystyle V=\pi r^{2}h,\; S_{bok}=2\pi rh,\; S_{\Pi O\Lambda H}=2\pi r(h+r).$$

Задача 1. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Решение.
Объём воды после переливания остаётся тем же: $\displaystyle V_{1}=V_{2};\; \pi r_{1}^{2}\cdot 45=\pi r_{2}^{2}\cdot h_{2}$. Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то и радиус второго втрое больше радиуса первого:
$\displaystyle 45 r_{1}^{2}=(3r_{1})^{2}\cdot h_{2};\; 45 r_{1}^{2}=9 r_{1}^{2}\cdot h_{2};\; h_{2}=5.$
Ответ: 5.
Задача 2. Площадь осевого сечения цилиндра равна б (см. рис. 2). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\displaystyle \pi$.

Решение.
Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $\displaystyle 2r$ и $h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра. Площадь этого прямоугольника равна $\displaystyle 2rh$. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $\displaystyle S_{bok}=2\pi rh$. Отсюда $\displaystyle \frac{S_{bok}}{\pi }=2rh=6$.
Ответ: б.