Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических) функций. Практикум по математическому анализу. Урок 80

К интегралам от рациональных функций сводятся следующие интегралы, где $R$ - рациональная функция:
I. $\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx$ — подстановкой $\displaystyle z=\textrm{tg}\frac{x}{2}$.
При этом $\displaystyle \sin x=\frac{2z}{1+z^{2}},\; \cos x=\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}},\; dx=\frac{2dz}{1+z^{2}}$.
II. $\displaystyle \int R(\textrm{tg}\, x)dx$ - подстановкой $\textrm{tg}\, x=z$. При этом $\displaystyle x=\textrm{arctg}\, z,\; dx=\frac{dz}{1+z^{2}}$.
III. $\displaystyle \int R(e^{x})dx$ — подстановкой $e^{x}=z$. При этом $\displaystyle x=\ln z,\; dx=\frac{dz}{z}$.
Пример 1. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int \frac{dx}{2\sin x-\cos x}$;
2) $\displaystyle \int \frac{dx}{5+4\cos ax }$;
3) $\displaystyle \int \frac{\textrm{tg}\, xdx}{1-\textrm{ctg}^{2}x}$;
4) $\displaystyle \int \frac{e^{3x}dx}{e^{2x}+1}$.
Решение. 1) Полагая $\displaystyle \textrm{tg}\frac{x}{2}=z$ и заменяя $\sin x,\: \cos x$ и $dx$ указанными их выражениями через $z$, вытекающими из этой подстановки, получим

$$\displaystyle \int \frac{dx}{2\sin x-\cos x}=\int \frac{2dz}{z^{2}+4z-1}=2\int \frac{d(z+2)}{(z+2)^{2}-5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\ln \left | \frac{z+2-\sqrt{5}}{z+2+\sqrt{5}} \right |+C=$$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}\ln \left | \frac{2-\sqrt{5}+\textrm{tg}\frac{x}{2}}{2+\sqrt{5}+\textrm{tg}\frac{x}{2}} \right |+C.$
2) Полагая $\displaystyle \textrm{tg}\frac{ax}{2}=z$, согласно правилу I имеем $\displaystyle \cos ax=\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}},\; dx=\frac{2dz}{a(1+z^{2})}$,
$\displaystyle \int \frac{dx}{5+4\cos ax }=\frac{2}{a}\int \frac{dz}{z^{2}+9}=\frac{2}{3a}\textrm{arctg}\frac{z}{3}+C=\frac{2}{3a}\textrm{arctg}\left ( \frac{1}{3}\textrm{tg}\frac{ax}{2} \right )+C.$
3) Полагая $\displaystyle \textrm{tg}\, x=z$, согласно правилу II получим
$\displaystyle \int \frac{\textrm{tg}\, xdx}{1-\textrm{ctg}^{2}x}=\int \frac{z^{3}dz}{z^{4}-1}=\frac{1}{4}\int \frac{d(z^{4}-1)}{z^{4}-1}=\frac{1}{4}\ln \left | z^{4}-1 \right |+C=\frac{1}{4}\ln \left | \textrm{tg}^{4}\, x-1 \right |+C$.
4) Применяя подстановку $\displaystyle e^{x}=z$, получим $\displaystyle dx=\frac{dz}{z}$ и
$\displaystyle \int \frac{e^{3x}dx}{e^{2x}+1}=\int \frac{z^{3}dz}{(z^{2}+1)z}=\int \frac{z^{2}dz}{z^{2}+1}=\int \left ( 1-\frac{1}{z^{2}+1} \right )dz=$
$\displaystyle =\int dz-\int \frac{dz}{z^{2}+1}=z-\textrm{arctg}\, z+C=e^{x}-\textrm{arctg}\, e^{x}+C.$