Упрощение уравнений кривых второго порядка. Решение задач. Часть 3

Задача № 1. Привести к простейшему виду уравнение кривой

4x^{2}-4xy+y^{2}-1=0

Решение. Разлагая левую часть этого уравнения на линейные множители, будем иметь:

4x^{2}-4xy+y^{2}-1=(4x^{2}-4xy+y^{2})-1=(2x-y)^{2}-1,
(2x-y)^{2}-1=0,

или

(2x-y-1)(2x-y+1)=0.

Следовательно, заданная кривая второго порядка распадается на пару параллельных прямых
2x-y-1=0 и 2x-y+1=0 (рис.1).
pkv102

Рис.1

Задача № 2.Привести к простейшему виду уравнение кривой x^{2}+y^{2}+4x+2y+6=0.
Решение. Данное уравнение не содержит члена с произведением координат.

Собираем в этом уравнении члены, содержащие одно¬именные координаты

(x^{2}+4x)+(y^{2}+2y)+6=0.

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

(x^{2}+4x+4)-4+(y^{2}+2y+1)-1+6=0,

или

(x+2)^{2}+(y+1)^{2}+1=0.

Это уравнение не может иметь места при действительных значениях х и у. Поэтому данное уравнение не определяет никакой линии на плоскости.
Задача № 3. Привести к простейшему виду уравнение

x^{2}+y^{2}+4y+4=0.

Решение. Данное уравнение может быть записано так:

x^{2}+(y^{2}+4y+4)=0, или   x^{2}+(y+2)^{2}=0.

Это равенство имеет место только при х = 0 и у = -2. Поэтому данное уравнение определяет на плоскости одну точку (0; -2).
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: