Геометрическая прогрессия (основные формулы)

Геометрическая прогрессия (основные формулы)

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность (b_{n}), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля. Первый член геометрической прогрессии предполагается отличным от нуля. b_{n} называется n - ым членом геометрической прогрессии.
Примеры геометрической прогрессии:
а) 1;2;4;8;16;32;...;
б) 1;\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{256};...;
в) 12;4;\frac{4}{3};\frac{4}{9};\frac{4}{27};....
Из определения геометрической прогрессии следует, что q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом,
q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{b_{3}}{b_{2}}=\frac{b_{4}}{b_{3}}=...=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=...
Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b_{n}), достаточно знать ее первый член и знаменатель.
Если

b_{n}=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}\Rightarrow b_{n}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1};


б) произведение членов, равноотстоящих от концов геометрической прогрессии, есть величина постоянная, т. е.

b_{1}\cdot b_{n}=b_{2}\cdot b_{n-1}=b_{3}\cdot b_{n-2}=...


Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.


Фурмулы для суммы n первых членов геометрической прогрессии имеют вид

S_{n}=\frac{b_{1}-b_{n}q}{1-q}=\frac{b_{1}\left ( 1-q^{n} \right )}{1-q}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

восемь − два =