Примеры на доказательство тригонометрических тождеств

ПРИМЕРЫ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
При доказательстве тождеств обычно используют следующие способы:
1) выражение, стоящее в одной части тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части тождества;
2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, приводят к одному и тому же виду;
3) доказывают, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.


Примеры 1—7. Доказать тождества:
1. ctg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =ctg^{2}\alpha\cdot cos^{2}\alpha ;
2. \displaystyle \frac{(sin\alpha +cos\alpha )^{2}-1}{ctg\alpha -sin\alpha \cdot cos\alpha }=2tg^{2}\alpha ;
3. 1-sin^{2}\alpha +ctg^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha =2cos^{2}\alpha ;
4. \displaystyle \frac{sin^{2}\alpha +2cos^{2}\alpha -1}{ctg^{2}\alpha }=sin^{2}\alpha ;
5. sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =0 ;
6. sin^{4}\alpha +2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha =1 ;
7. \displaystyle \frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }=\frac{1-cos\alpha }{sin\alpha } .
Решение.

1. \displaystyle ctg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }-cos^{2}\alpha =\frac{cos^{2}\alpha -cos^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha(1-sin^{2}\alpha )}{sin^{2}\alpha}=
\displaystyle =\frac{cos^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}\cdot cos^{2}\alpha=ctg^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha.
2. \displaystyle \frac{(sin\alpha +cos\alpha )^{2}-1}{ctg\alpha -sin\alpha \cdot cos\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha +cos^{2}\alpha -(sin^{2}+cos^{2}\alpha)}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha }-sin\alpha \cdot cos\alpha }=
\displaystyle =\frac{2sin\alpha \cdot cos\alpha }{1}:\frac{cos\alpha -sin^{2}\cdot cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{2sin^{2}\alpha\cdot cos\alpha }{cos\alpha (1-sin^{2}\alpha )}=\frac{2sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=2tg^{2}\alpha .
3. \displaystyle \underline{1-sin^{2}\alpha} +ctg^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha =\underline{cos^{2}\alpha} +\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }\cdot sin^{2}\alpha =cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=2cos^{2}\alpha.
4. \displaystyle \frac{sin^{2}\alpha +2cos^{2}\alpha -1}{ctg^{2}\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha+2cos^{2}\alpha -(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha)}{1}:\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha\cdot sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}=sin^{2}\alpha.
5. \displaystyle sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{4}\alpha-sin^{2}\alpha -cos^{4}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha(sin^{2}\alpha-1)+cos^{2}\alpha (1-cos^{2}\alpha)=
\displaystyle sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{4}\alpha-sin^{2}\alpha -cos^{4}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha(sin^{2}\alpha-1)+cos^{2}\alpha (1-cos^{2}\alpha)= =sin^{2}\alpha(-cos^{2}\alpha )+cos^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha=-sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha=0.
6. \displaystyle sin^{4}\alpha +2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha =(sin^{2}\alpha )^{2}+2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +(cos^{2}\alpha )^{2}=(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )^{2}=1^{2}=1.
7. Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Чтобы доказать справедливость пропорции \frac{a}{b}=\frac{c}{d} , достаточно доказать, что ad=bc . Поэтому достаточно показать, что sin\alpha \cdot sin\alpha=(1+cos\alpha )(1-cos\alpha ) . Это равенство очевидно, т. к. sin\alpha \cdot sin\alpha=sin^{2}\alpha ,\; (1+cos\alpha )(1-cos\alpha )=1-cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha .
Вывод: тождества доказаны.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: