Примеры на доказательство тригонометрических тождеств

ПРИМЕРЫ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
При доказательстве тождеств обычно используют следующие способы:
1) выражение, стоящее в одной части тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части тождества;
2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, приводят к одному и тому же виду;
3) доказывают, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.
Примеры 1—7. Доказать тождества:
1. $ctg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =ctg^{2}\alpha\cdot cos^{2}\alpha$;
2. $\displaystyle \frac{(sin\alpha +cos\alpha )^{2}-1}{ctg\alpha -sin\alpha \cdot cos\alpha }=2tg^{2}\alpha$;
3. $1-sin^{2}\alpha +ctg^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha =2cos^{2}\alpha$;
4. $\displaystyle \frac{sin^{2}\alpha +2cos^{2}\alpha -1}{ctg^{2}\alpha }=sin^{2}\alpha$;
5. $sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =0$;
6. $sin^{4}\alpha +2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha =1$;
7. $\displaystyle \frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }=\frac{1-cos\alpha }{sin\alpha }$.
Решение.

1. $\displaystyle ctg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }-cos^{2}\alpha =\frac{cos^{2}\alpha -cos^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha(1-sin^{2}\alpha )}{sin^{2}\alpha}=$
$\displaystyle =\frac{cos^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}\cdot cos^{2}\alpha=ctg^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha.$
2. $\displaystyle \frac{(sin\alpha +cos\alpha )^{2}-1}{ctg\alpha -sin\alpha \cdot cos\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha +cos^{2}\alpha -(sin^{2}+cos^{2}\alpha)}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha }-sin\alpha \cdot cos\alpha }=$
$\displaystyle =\frac{2sin\alpha \cdot cos\alpha }{1}:\frac{cos\alpha -sin^{2}\cdot cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{2sin^{2}\alpha\cdot cos\alpha }{cos\alpha (1-sin^{2}\alpha )}=\frac{2sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=2tg^{2}\alpha .$
3. $\displaystyle \underline{1-sin^{2}\alpha} +ctg^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha =\underline{cos^{2}\alpha} +\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }\cdot sin^{2}\alpha =cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=2cos^{2}\alpha.$
4. $\displaystyle \frac{sin^{2}\alpha +2cos^{2}\alpha -1}{ctg^{2}\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha+2cos^{2}\alpha -(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha)}{1}:\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha\cdot sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}=sin^{2}\alpha.$
5. $\displaystyle sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{4}\alpha-sin^{2}\alpha -cos^{4}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha(sin^{2}\alpha-1)+cos^{2}\alpha (1-cos^{2}\alpha)=$
$\displaystyle sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{4}\alpha-sin^{2}\alpha -cos^{4}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha(sin^{2}\alpha-1)+cos^{2}\alpha (1-cos^{2}\alpha)= =sin^{2}\alpha(-cos^{2}\alpha )+cos^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha=-sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha=0.$
6. $\displaystyle sin^{4}\alpha +2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha =(sin^{2}\alpha )^{2}+2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +(cos^{2}\alpha )^{2}=(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )^{2}=1^{2}=1.$
7. Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Чтобы доказать справедливость пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, достаточно доказать, что $ad=bc$. Поэтому достаточно показать, что $sin\alpha \cdot sin\alpha=(1+cos\alpha )(1-cos\alpha )$. Это равенство очевидно, т. к. $sin\alpha \cdot sin\alpha=sin^{2}\alpha ,\; (1+cos\alpha )(1-cos\alpha )=1-cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha$.
Вывод: тождества доказаны.