Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 2

Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 2

Пример 5. Упростить A=\frac{sin^{2}\alpha }{1-sin^{2}\alpha }\cdot ctg^{2}\alpha .
Решение.

A=\frac{sin^{2}\alpha }{1-sin^{2}\alpha }\cdot ctg^{2}\alpha =\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha }\cdot \frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}=1.


Ответ: A=1.
Пример 6. Упростить A=(sin\alpha -cos\alpha )^{2}+(cos\alpha +sin\alpha )^{2}-2.
Решение.
A=(sin\alpha -cos\alpha )^{2}+(cos\alpha +sin\alpha )^{2}-2=
=sin^{2}\alpha -2sin\alpha cos\alpha +cos^{2}\alpha +cos^{2}\alpha +2sin\alpha cos\alpha +sin^{2}\alpha-2=
=2(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )-2=2\cdot 1-2=0.
Ответ: A=0.
Пример 7. Упростить A=\sqrt{1-sin^{2}\frac{\alpha }{2} }+\sqrt{1-cos^{2}\frac{\alpha }{2} }, если 3\pi <\alpha <4\pi .
Решение.
A=\sqrt{1-sin^{2}\frac{\alpha }{2} }+\sqrt{1-cos^{2}\frac{\alpha }{2}}=\sqrt{cos^{2}\frac{\alpha }{2} }+\sqrt{sin^{2}\frac{\alpha }{2}}=\left | cos \frac{\alpha }{2}\right |+\left | sin\frac{\alpha }{2} \right |.
Избавимся от модулей. 3\pi <\alpha <4\pi\Rightarrow \frac{3\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\frac{4\pi }{2} следовательно угол \frac{\alpha }{2} оканчивается в IV четверти отсюда

\left | cos\frac{\alpha }{2} \right |=cos\frac{\alpha }{2},\; \left | sin\frac{\alpha }{2} \right |=-sin\frac{\alpha }{2}.

Значит A=cos\frac{\alpha }{2}-sin\frac{\alpha }{2}. Ответ: A=cos\frac{\alpha }{2}-sin\frac{\alpha }{2}.
Пример 8. Дано sin\alpha +cos\alpha =m.
Найти: a) sin\alpha \cdot cos\alpha; 6) sin^{3}\alpha + cos^{3}\alpha.
Решение.
а) Возведем обе части исходного выражения в квадрат:
sin\alpha + cos\alpha=m\Rightarrow (sin\alpha + cos\alpha)^{2}=m^{2}\Leftrightarrow sin^{2}\alpha +2sin\alpha cos\alpha +cos^{2}\alpha =m^{2}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow 1+2sin\alpha cos\alpha=m^{2}\Leftrightarrow 2sin\alpha cos\alpha=m^{2}-1\Leftrightarrow sin\alpha cos\alpha=\frac{m^{2}-1}{2}.
б) sin^{3}\alpha + cos^{3}\alpha=(sin\alpha +cos\alpha )(sin^{2}\alpha -sin\alpha cos\alpha +cos^{2}\alpha )=
=(sin\alpha +cos\alpha )(1-sin\alpha cos\alpha )=m\left ( 1-\frac{m^{2}-1}{2} \right )=m\left ( \frac{2-m^{2}+1}{2} \right )=\frac{m(3-m^{2})}{2}.
В процессе решения мы учли, что если sin\alpha +cos\alpha =m, то sin\alpha cos\alpha=\frac{m^{2}-1}{2} согласно вывода из пункта а).
Ответ: а) \left \{ \frac{m^{2}-1}{2} \right \}; б) \left \{ \frac{m(3-m^{2})}{2} \right \}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двадцать + четыре =