Для периодической функции выполняется равенство , где — отличное от нуля число, называемое периодом функции. Каждая периодическая функция имеет бесчисленное множество периодов, т. к. если — период, то — период, где . Обычно, говоря о периоде, имеют в виду наименьший положительный период, который называется основным. Основными периодами для тригонометрических функций являются: = 360° для функций ; = 180° для функций . В более общем виде можем записать:
,
Если углы выражать в радианах, то можно сказать, что периоды функций , а периоды функций .
При этом — основной период функций ; — основной период функций .
Известно, что периоды функций и вычисляются по формуле , а периоды функций и — по формуле .
Если период функции равен а период функции равен , то период функций и равен наименьшему числу, при делении которого на и получаются целые числа.
Пример 1. Вычислить без использования калькулятора и таблиц: a) ; б) ; в) .
Решение.
а)
б)
в)
Ответ: a) ; б) ; в) .
Пример 2. Найти период функций: а) ; б) ; в) .
Решение.
а) Период функции равен , а период функции равен . Наименьшее число, при делении которого на и — получаются целые числа, есть число . Следовательно, период заданной функции равен .
б) Находим периоды слагаемых. Период функции равен , а период функции равен . Очевидно, что период заданной функции равен .
в) Период функции равен , а период функции равен . Периода у заданной функции не существует, т. к. нет такого числа, при делении которого на 2 и на одновременно получались бы целые числа.
Ответ: а) ; б) ; в) периода не существует.