Периодичность тригонометрических функций

Для периодической функции \displaystyle y=f(x) выполняется равенство \displaystyle f(x+T)=f(x) , где T — отличное от нуля число, называемое периодом функции. Каждая периодическая функция имеет бесчисленное множество периодов, т. к. если T — период, то nT — период, где \displaystyle n\in Z/ \left \{ 0 \right \} . Обычно, говоря о периоде, имеют в виду наименьший положительный период, который называется основным. Основными периодами для тригонометрических функций являются: T = 360° для функций \displaystyle y=sinx,\; y=cosx ; T = 180° для функций \displaystyle y=tgx,\; y=ctgx .

В более общем виде можем записать:
\displaystyle sin(x\pm 360^{\circ}k)=sinx,\; cos(x\pm 360^{\circ}k)=cosx ,
\displaystyle tg(x\pm 180^{\circ}k)=tgx,\; ctg(x\pm 180^{\circ}k)=ctgx,\; k\in Z.
Если углы выражать в радианах, то можно сказать, что периоды функций \displaystyle y=sinx,\; y=cosx \displaystyle T=2\pi k , а периоды функций \displaystyle y=tgx,\; y=ctgx \displaystyle T=\pi k,\; k\in Z/ \left \{ 0 \right \} .
При этом \displaystyle T=2\pi k — основной период функций \displaystyle y=sinx,\; y=cosx ; \displaystyle T=\pi k — основной период функций \displaystyle y=tgx,\; y=ctgx .
Известно, что периоды функций \displaystyle y=Asin(\varpi x+\phi ) и \displaystyle y=Acos(\varpi x+\phi ) вычисляются по формуле \displaystyle T=\frac{2\pi }{\varpi } , а периоды функций \displaystyle y=Atg(\varpi x+\phi ) и \displaystyle y=Actg(\varpi x+\phi ) — по формуле \displaystyle T=\frac{\pi }{\varpi } .
Если период функции \displaystyle y=f(x) равен \displaystyle T_{1} а период функции \displaystyle y=\phi (x) равен \displaystyle T_{2} , то период функций \displaystyle y=f(x)+\phi (x) и \displaystyle y=f(x)\cdot \phi (x) равен наименьшему числу, при делении которого на \displaystyle T_{1} и \displaystyle T_{2} получаются целые числа.
Пример 1. Вычислить без использования калькулятора и таблиц: a) \displaystyle cos405^{\circ} ; б) \displaystyle sin1020^{\circ} ; в) \displaystyle tg930^{\circ} .
Решение.
а) \displaystyle cos405^{\circ}=cos(360^{\circ}+45^{\circ})=cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2};
б) \displaystyle sin1020^{\circ}=sin(360^{\circ}\cdot 3-60^{\circ})=sin(-60^{\circ})=-\frac{\sqrt{3}}{2};
в) \displaystyle tg930^{\circ}=tg(180^{\circ}\cdot 5+30^{\circ})=tg30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Ответ: a) \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} ; б) \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} ; в) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} .
Пример 2. Найти период функций: а) \displaystyle y=5sin2x+2ctg3x ; б) \displaystyle y=9sin\left ( 5x+\frac{\pi }{3} \right )-4cos(7x+2) ; в) \displaystyle y=3sin\pi x+8tg(x+5) .
Решение.
а) Период функции \displaystyle y=5sin2x равен \displaystyle T_{1}=\frac{2\pi }{2}=\pi , а период функции \displaystyle y=2ctg3x равен \displaystyle \frac{\pi }{3} . Наименьшее число, при делении которого на \displaystyle T_{1}=\pi и \displaystyle T_{2}=\frac{\pi }{3} — получаются целые числа, есть число \displaystyle \pi . Следовательно, период заданной функции равен \displaystyle T=\pi .
б) Находим периоды слагаемых. Период функции \displaystyle y=9sin\left ( 5x+\frac{\pi }{3} \right ) равен \displaystyle T_{1}=\frac{2\pi }{5} , а период функции \displaystyle y=4cos(7x+2) равен \displaystyle T_{2}=\frac{2\pi }{7} . Очевидно, что период заданной функции равен \displaystyle T=2\pi .
в) Период функции \displaystyle y=3sin\pi x равен \displaystyle T_{1}=\frac{2\pi }{\pi }=2 , а период функции \displaystyle y=8tg(x+5) равен \displaystyle T_{2}=\frac{\pi }{1}=\pi . Периода у заданной функции не существует, т. к. нет такого числа, при делении которого на 2 и на \displaystyle \pi одновременно получались бы целые числа.
Ответ: а) \displaystyle T=\pi ; б) \displaystyle T=2\pi ; в) периода T не существует.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: