Периодичность тригонометрических функций

Для периодической функции $\displaystyle y=f(x)$ выполняется равенство $\displaystyle f(x+T)=f(x)$ , где $T$ — отличное от нуля число, называемое периодом функции. Каждая периодическая функция имеет бесчисленное множество периодов, т. к. если $T$ — период, то $nT$ — период, где $\displaystyle n\in Z/ \left \{ 0 \right \}$ . Обычно, говоря о периоде, имеют в виду наименьший положительный период, который называется основным. Основными периодами для тригонометрических функций являются: $T$ = 360° для функций $\displaystyle y=sinx,\; y=cosx$ ; $T$ = 180° для функций $\displaystyle y=tgx,\; y=ctgx$. В более общем виде можем записать:
$\displaystyle sin(x\pm 360^{\circ}k)=sinx,\; cos(x\pm 360^{\circ}k)=cosx$,
$\displaystyle tg(x\pm 180^{\circ}k)=tgx,\; ctg(x\pm 180^{\circ}k)=ctgx,\; k\in Z.$
Если углы выражать в радианах, то можно сказать, что периоды функций $\displaystyle y=sinx,\; y=cosx$ $\displaystyle T=2\pi k$, а периоды функций $\displaystyle y=tgx,\; y=ctgx$ $\displaystyle T=\pi k,\; k\in Z/ \left \{ 0 \right \}$ .
При этом $\displaystyle T=2\pi k$ — основной период функций $\displaystyle y=sinx,\; y=cosx$; $\displaystyle T=\pi k$ — основной период функций $\displaystyle y=tgx,\; y=ctgx$.
Известно, что периоды функций $\displaystyle y=Asin(\varpi x+\phi )$ и $\displaystyle y=Acos(\varpi x+\phi )$ вычисляются по формуле $\displaystyle T=\frac{2\pi }{\varpi }$ , а периоды функций $\displaystyle y=Atg(\varpi x+\phi )$ и $\displaystyle y=Actg(\varpi x+\phi )$ — по формуле $\displaystyle T=\frac{\pi }{\varpi }$.
Если период функции $\displaystyle y=f(x)$ равен $\displaystyle T_{1}$ а период функции $\displaystyle y=\phi (x)$ равен $\displaystyle T_{2}$, то период функций $\displaystyle y=f(x)+\phi (x)$ и $\displaystyle y=f(x)\cdot \phi (x)$ равен наименьшему числу, при делении которого на $\displaystyle T_{1}$ и $\displaystyle T_{2}$ получаются целые числа.
Пример 1. Вычислить без использования калькулятора и таблиц: a) $\displaystyle cos405^{\circ}$; б) $\displaystyle sin1020^{\circ}$; в) $\displaystyle tg930^{\circ}$.
Решение.
а) $\displaystyle cos405^{\circ}=cos(360^{\circ}+45^{\circ})=cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2};$
б) $\displaystyle sin1020^{\circ}=sin(360^{\circ}\cdot 3-60^{\circ})=sin(-60^{\circ})=-\frac{\sqrt{3}}{2};$
в) $\displaystyle tg930^{\circ}=tg(180^{\circ}\cdot 5+30^{\circ})=tg30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Ответ: a) $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; б) $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}$; в) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Пример 2. Найти период функций: а) $\displaystyle y=5sin2x+2ctg3x$; б) $\displaystyle y=9sin\left ( 5x+\frac{\pi }{3} \right )-4cos(7x+2)$; в) $\displaystyle y=3sin\pi x+8tg(x+5)$.
Решение.
а) Период функции $\displaystyle y=5sin2x$ равен $\displaystyle T_{1}=\frac{2\pi }{2}=\pi$, а период функции $\displaystyle y=2ctg3x$ равен $\displaystyle \frac{\pi }{3}$. Наименьшее число, при делении которого на $\displaystyle T_{1}=\pi$ и $\displaystyle T_{2}=\frac{\pi }{3}$ — получаются целые числа, есть число $\displaystyle \pi$. Следовательно, период заданной функции равен $\displaystyle T=\pi$.
б) Находим периоды слагаемых. Период функции $\displaystyle y=9sin\left ( 5x+\frac{\pi }{3} \right )$ равен $\displaystyle T_{1}=\frac{2\pi }{5}$, а период функции $\displaystyle y=4cos(7x+2)$ равен $\displaystyle T_{2}=\frac{2\pi }{7}$. Очевидно, что период заданной функции равен $\displaystyle T=2\pi$.
в) Период функции $\displaystyle y=3sin\pi x$ равен $\displaystyle T_{1}=\frac{2\pi }{\pi }=2$, а период функции $\displaystyle y=8tg(x+5)$ равен $\displaystyle T_{2}=\frac{\pi }{1}=\pi$. Периода у заданной функции не существует, т. к. нет такого числа, при делении которого на 2 и на $\displaystyle \pi$ одновременно получались бы целые числа.
Ответ: а) $\displaystyle T=\pi$; б) $\displaystyle T=2\pi$; в) периода $T$ не существует.