Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 1

Пример 1. Определить знак выражений: a) sin2; б) cos6.
Решение. Изобразим углы в 2 и 6 радиан на тригонометрическом круге (рис. 1). Заметим, что $\pi =180^{\circ}$, но, с другой стороны, $\pi \approx 3,14$ радиан. Поэтому $\frac{\pi }{2}<2<\pi ,\; \frac{3\pi }{2}<6<2\pi .$ Отсюда угол $\alpha =2$ оканчивается во II четверти, а угол $\alpha =6$ оканчивается в IV четверти. Тогда

$$A=\frac{1}{2}sin180^{\circ}-\sqrt{3}cos180^{\circ}+\frac{1}{cos180^{\circ}}+tg60^{\circ}=$$

$$=\frac{1}{2}\cdot 0-\sqrt{3}\cdot (-1)+\frac{1}{(-1)}+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-1.$$

Ответ: $A=2\sqrt{3}-1.$
Пример 3. Найти $cos\alpha ,\; tg\alpha ,\; ctg\alpha$, если $sin\alpha =\frac{4}{5},\; 90^{\circ}<\alpha <180^{\circ}.$
Решение.
$cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^{2}\alpha }.$
Так как по условию угол $\alpha$ оканчивается во II четверти, то $cos \alpha <0$ и перед радикалом нужно взять знак "-". Отсюда

$$cos \alpha =-\sqrt{1-sin^{2}\alpha }=-\sqrt{1-\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}}=-\sqrt{1-\sqrt{\frac{16}{25}}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5},$$

$$tg \alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{4}{5}:\left ( -\frac{3}{5} \right )=-\frac{4}{3},\; ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=-\frac{3}{4}.$$

Ответ: $cos\alpha =-\frac{3}{5},\; tg \alpha =-\frac{4}{3},\; ctg\alpha =-\frac{3}{4}.$
Пример 4. Найти $sin\alpha ,\; cos\alpha ,\; ctg\alpha$, если $tg\alpha =\frac{1}{3},\; 180^{\circ}<\alpha <270^{\circ}.$
Решение.

$$1+tg^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }\Leftrightarrow cos^{2}\alpha =\frac{1}{1+tg^{2}\alpha }\Leftrightarrow cos\alpha =\frac{1}{\pm \sqrt{1+tg^{2}\alpha }}.$$

Поскольку по условию угол $\alpha$ оканчивается в III четверти, то $cos \alpha <0$ и перед радикалом нужно взять знак "-". Отсюда

$$cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{1+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}}}=-\frac{3}{\sqrt{10}},\; sin\alpha =-\sqrt{1-cos^{2}\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{10}}=-\sqrt{\frac{1}{10}},\; ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=3.$$

Ответ: $sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{10}},\; cos \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}},\; ctg\alpha =3.$