Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 1

Пример 1. Определить знак выражений: a) sin2; б) cos6.
Решение. Изобразим углы в 2 и 6 радиан на тригонометрическом круге (рис. 1). Заметим, что \pi =180^{\circ} , но, с другой стороны, \pi \approx 3,14 радиан. Поэтому \frac{\pi }{2}<2<\pi ,\; \frac{3\pi }{2}<6<2\pi . Отсюда угол \alpha =2 оканчивается во II четверти, а угол \alpha =6 оканчивается в IV четверти. Тогда sin2>0,\; cos6>0.
Ответ: a) sin2>0 ; б) cos6>0 .
Пример 2. Вычислить A=\frac{1}{2}sin180^{\circ}-\sqrt{3}cos180^{\circ}+\frac{1}{cos180^{\circ}}+tg60^{\circ}.
Решение.

A=\frac{1}{2}sin180^{\circ}-\sqrt{3}cos180^{\circ}+\frac{1}{cos180^{\circ}}+tg60^{\circ}=


=\frac{1}{2}\cdot 0-\sqrt{3}\cdot (-1)+\frac{1}{(-1)}+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-1.


Ответ: A=2\sqrt{3}-1.
Пример 3. Найти cos\alpha ,\; tg\alpha ,\; ctg\alpha , если sin\alpha =\frac{4}{5},\; 90^{\circ}<\alpha <180^{\circ}.
Решение.
cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^{2}\alpha }.
Так как по условию угол \alpha оканчивается во II четверти, то cos \alpha <0 и перед радикалом нужно взять знак "-". Отсюда

cos \alpha =-\sqrt{1-sin^{2}\alpha }=-\sqrt{1-\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}}=-\sqrt{1-\sqrt{\frac{16}{25}}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5},

tg \alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{4}{5}:\left ( -\frac{3}{5} \right )=-\frac{4}{3},\; ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=-\frac{3}{4}.

Ответ: cos\alpha =-\frac{3}{5},\; tg \alpha =-\frac{4}{3},\; ctg\alpha =-\frac{3}{4}.
Пример 4. Найти sin\alpha ,\; cos\alpha ,\; ctg\alpha , если tg\alpha =\frac{1}{3},\; 180^{\circ}<\alpha <270^{\circ}.
Решение.

1+tg^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }\Leftrightarrow cos^{2}\alpha =\frac{1}{1+tg^{2}\alpha }\Leftrightarrow cos\alpha =\frac{1}{\pm \sqrt{1+tg^{2}\alpha }}.


Поскольку по условию угол \alpha оканчивается в III четверти, то cos \alpha <0 и перед радикалом нужно взять знак "-". Отсюда

cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{1+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}}}=-\frac{3}{\sqrt{10}},\; sin\alpha =-\sqrt{1-cos^{2}\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{10}}=-\sqrt{\frac{1}{10}},\; ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=3.

Ответ: sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{10}},\; cos \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}},\; ctg\alpha =3.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: