Четность и нечетность тригонометрических функций

Четность и нечетность тригонометрических функций

При повороте единичного вектора $\displaystyle \overrightarrow{OM_{0}}$ (начального радиуса $\displaystyle OM_{0}$ на углы $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle -\alpha$ абсциссы векторов $\displaystyle \overrightarrow{OM_{0}}$ и $\displaystyle \overrightarrow{OM'}$ равны, а ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку (рис. 1). Это значит, что $\displaystyle cos(-\alpha )=cos\alpha,\; sin(-\alpha )=-sin\alpha$ , т.е. функция $\displaystyle cos(\alpha )$ является четной, a $\displaystyle sin(\alpha )$ — нечетной.

Рассмотрим остальные тригонометрические функции:
$\displaystyle tg(-\alpha )=\frac{sin(-\alpha )}{cos(-\alpha )}=\frac{-sin\alpha }{cos\alpha }=-tg\alpha.$
Отсюда $\displaystyle tg(-\alpha )=-tg\alpha$. Следовательно, функция $\displaystyle tg\alpha$ является нечетной.
$\displaystyle ctg(-\alpha )=\frac{cos(-\alpha )}{sin(-\alpha )}=\frac{cos\alpha }{sin(-\alpha )}=-ctg\alpha.$
Отсюда $\displaystyle ctg(-\alpha )=-ctg\alpha.$ Следовательно, функция $\displaystyle ctg\alpha$ является нечетной.
Таким образом, из четырех основных тригонометрических функций функция $\displaystyle y=cosx$ является четной, а остальные три — нечетными.
Пример 1. Исследовать на четность функции:
а) $\displaystyle y=sinx\cdot cosx$ ;
б) $\displaystyle y=\frac{sinx}{x}$ ;
в) $\displaystyle y=tgx+ctgx$ ;
г) $\displaystyle y=x-sinx$ ;
д) $\displaystyle y=sinx-cosx$.
Решение.
а) $\displaystyle y=sinx\cdot cosx.\; y(-x)=sin(-x)\cdot cos(-x)=-sinx\cdot cosx=-y(x).$ Следовательно, функция $\displaystyle y=sinx\cdot cosx$ является нечетной;
б) $\displaystyle y=\frac{sinx}{x}.\; y(-x)=\frac{sin(-x)}{-x}=\frac{sinx}{x}=y(x).$ Следовательно, функция $\displaystyle y=\frac{sinx}{x}$ является четной;
в) $\displaystyle y=tgx+ctgx.\; y(-x)=tg(-x)+ctg(-x)=-tgx-ctgx=-(tgx+ctgx)=-y(x).$ Следовательно, функция $\displaystyle y=tgx+ctgx$ является нечетной;
г) $\displaystyle y=x-sinx.\; y(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx)=-y(x).$ Следовательно, функция $\displaystyle y=x-sinx$ является нечетной;
д) $\displaystyle y=sinx-cosx.\; y(-x)=sin(-x)-cos(-x)=-sinx-cosx.\; y(-x)\neq y(x),\; y(-x)\neq -y(x).$ Следовательно, функция $\displaystyle y=sinx-cosx$ не является ни четной, ни нечетной, т. е. это функция общего вида.