Четность и нечетность тригонометрических функций

Четность и нечетность тригонометрических функций

При повороте единичного вектора \displaystyle \overrightarrow{OM_{0}} (начального радиуса \displaystyle OM_{0} на углы \displaystyle \alpha и \displaystyle -\alpha абсциссы векторов \displaystyle \overrightarrow{OM_{0}} и \displaystyle \overrightarrow{OM'} равны, а ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку (рис. 1). Это значит, что \displaystyle cos(-\alpha )=cos\alpha,\; sin(-\alpha )=-sin\alpha , т.е. функция \displaystyle cos(\alpha ) является четной, a \displaystyle sin(\alpha )нечетной.


tr9

Рис.1

Рассмотрим остальные тригонометрические функции:
\displaystyle tg(-\alpha )=\frac{sin(-\alpha )}{cos(-\alpha )}=\frac{-sin\alpha }{cos\alpha }=-tg\alpha.
Отсюда \displaystyle tg(-\alpha )=-tg\alpha . Следовательно, функция \displaystyle tg\alpha является нечетной.
\displaystyle ctg(-\alpha )=\frac{cos(-\alpha )}{sin(-\alpha )}=\frac{cos\alpha }{sin(-\alpha )}=-ctg\alpha.
Отсюда \displaystyle ctg(-\alpha )=-ctg\alpha. Следовательно, функция \displaystyle ctg\alpha является нечетной.
Таким образом, из четырех основных тригонометрических функций функция \displaystyle y=cosx является четной, а остальные три — нечетными.
Пример 1. Исследовать на четность функции:

а) \displaystyle y=sinx\cdot cosx ;
б) \displaystyle y=\frac{sinx}{x} ;
в) \displaystyle y=tgx+ctgx ;
г) \displaystyle y=x-sinx ;
д) \displaystyle y=sinx-cosx .
Решение.
а) \displaystyle y=sinx\cdot cosx.\; y(-x)=sin(-x)\cdot cos(-x)=-sinx\cdot cosx=-y(x). Следовательно, функция \displaystyle y=sinx\cdot cosx является нечетной;
б) \displaystyle y=\frac{sinx}{x}.\; y(-x)=\frac{sin(-x)}{-x}=\frac{sinx}{x}=y(x). Следовательно, функция \displaystyle y=\frac{sinx}{x} является четной;
в) \displaystyle y=tgx+ctgx.\; y(-x)=tg(-x)+ctg(-x)=-tgx-ctgx=-(tgx+ctgx)=-y(x). Следовательно, функция \displaystyle y=tgx+ctgx является нечетной;
г) \displaystyle y=x-sinx.\; y(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx)=-y(x). Следовательно, функция \displaystyle y=x-sinx является нечетной;
д) \displaystyle y=sinx-cosx.\; y(-x)=sin(-x)-cos(-x)=-sinx-cosx.\; y(-x)\neq y(x),\; y(-x)\neq -y(x). Следовательно, функция \displaystyle y=sinx-cosx не является ни четной, ни нечетной, т. е. это функция общего вида.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: