Решение типовых задач на геометрическую прогрессию. Часть 1

Пример 1. В геометрической прогрессии $(b_{n})$ $b_{1}=16;\; q=\frac{1}{2}$ . Найти $b_{7}$ .
Решение.
$b_{7}=b_{1}q^{6}=16\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{6}=\frac{2^{4}}{2^{6}}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.$
Ответ: $\frac{1}{4}.$
Пример 2. Дана геометрическая прогрессия $(b_{n})$ : 2;-6;18. Найти $b_{5}$ .
Решение.
Найдем сначала знаменатель прогрессии:

$q=\frac{-6}{2}=-3;\; b_{5}=b_{1}q^{4}=2(-3)^{4}=2\cdot 81=162.$

Ответ: 162.
Пример 3. Найти первый член геометрической прогрессии

$(b_{n})$ , если

$b_{6}=3,q=3.$
Решение.

$b_{6}=b_{1}q^{6}\Leftrightarrow b_{1}=\frac{b_{6}}{q^{5}}=\frac{3}{3^{5}}=\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}.$

0твет:

$\frac{1}{81}.$
Пример 4. В геометрической прогрессии

$(b_{n})$ :

$b_{1}=-\frac{2}{9},\; b_{3}=-2.$
Найти

$b_{7}$ .
Решение.

$b_{7}=b_{1}q^{6}$ . Найдем знаменатель прогрессии

$q$ . Имеем:

$b_{3}=b_{1}q^{2}\Leftrightarrow q^{2}=\frac{b_{3}}{b_{1}}=\frac{-2}{-\frac{2}{9}}=9;$

$b_{7}=b_{1}q^{6}=b_{1}\left ( q^{2} \right )^{3}=\left ( -\frac{2}{9} \right )\cdot 9^{3}=-\frac{2\cdot 9^{3}}{9}=-2\cdot 9^{2}=-2\cdot 81=-162.$

Ответ: -162.
Пример 5. В геометрической прогрессии

$(b_{n})$ :

$b_{2}=6,\; b_{4}=24.$
Найти

$b_{6}$ .
Решение.
Найдем сначала знаменатель прогрессии

$q$ . По условию

$b_{2}=6\Leftrightarrow b_{1}q=6;\; b_{4}=24\Leftrightarrow b_{1}q^{3}=24;\; \frac{b_{2}}{b_{4}}=\frac{b_{1}q}{b_{1}q^{3}}=\frac{6}{24}\Leftrightarrow \frac{1}{q^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow q^{2}=4;$