Решение типовых задач на геометрическую прогрессию. Часть 2

Пример 1. В геометрической прогрессии (b_{n}) : b_{1}=6,q=3 . Найти b_{64},S_{64}
Решение.
b_{64}=b_{1}\cdot q^{63}=6\cdot 3^{63};
S_{64}=\frac{b_{1}(1-q^{64})}{1-q}=\frac{6(1-3^{64})}{1-3}=
=\frac{6}{-2}\left ( 1-3^{64} \right )=-3\cdot (1-3^{64})=3\cdot (3^{64}-1).
Ответ: b_{64}=6\cdot 3^{63};\; S_{64}=3\cdot (3^{64}-1).

Пример 2. Найти сумму 1+x+x^{2}+...+x^{99}+x^{100},\; x\neq 1.
Решение.
Имеем q=\frac{x}{1}=\frac{x^{2}}{x}=...=x,\; b_{1}=1,\; n=101.
Отсюда искомая сумма есть S_{101}=\frac{1(1-x^{101})}{1-x}=\frac{1-x^{101}}{1-x}.

Ответ: \frac{1-x^{101}}{1-x}.
Пример 3. В геометрической прогрессии (b_{n}) : \left\{\begin{matrix} b_{1}+b_{3}=10,\\ b_{2}+b_{4}=30. \end{matrix}\right.
Найти сумму S_{8} восьми первых членов прогрессии.
Решение.
Поскольку b_{2}=b_{1}q,\; b_{3}=b_{1}q^{2},\; b_{4}=b_{1}q^{3},
то имеем систему уравнений, равносильную исходной: \left\{\begin{matrix} b_{1}+b_{1}q^{2}=10,\\ b_{1}q+b_{1}q^{3}=30 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b_{1}(1+q^{2})=10,\\ b_{1}q(1+q^{2})=30. \end{matrix}\right.
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим \frac{b_{1}q(1+q^{2})}{b_{1}(1+q^{2})}=\frac{30}{10}\Leftrightarrow q=3.
Из первого уравнения системы b_{1}=\frac{10}{1+q^{2}}=\frac{10}{1+3^{2}}=\frac{10}{10}=1.
Итак, b_{1}=1,\; q=3. По формуле для суммы n первых членов находим

S_{8}=\frac{b_{1}(1-q^{8})}{1-q}=\frac{1(1-3^{8})}{1-3}=\frac{3^{8}-1}{2}=\frac{6560}{2}=3280.


Ответ: S_{8}=3280.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: