Решение типовых задач на геометрическую прогрессию. Часть 2

Пример 1. В геометрической прогрессии $(b_{n})$ : $b_{1}=6,q=3$ . Найти $b_{64},S_{64}$
Решение.
$b_{64}=b_{1}\cdot q^{63}=6\cdot 3^{63};$
$S_{64}=\frac{b_{1}(1-q^{64})}{1-q}=\frac{6(1-3^{64})}{1-3}=$
$=\frac{6}{-2}\left ( 1-3^{64} \right )=-3\cdot (1-3^{64})=3\cdot (3^{64}-1).$
Ответ: $b_{64}=6\cdot 3^{63};\;$ $S_{64}=3\cdot (3^{64}-1).$

Пример 2. Найти сумму $1+x+x^{2}+...+x^{99}+x^{100},\; x\neq 1.$
Решение.
Имеем $q=\frac{x}{1}=\frac{x^{2}}{x}=...=x,\; b_{1}=1,\; n=101.$
Отсюда искомая сумма есть $S_{101}=\frac{1(1-x^{101})}{1-x}=\frac{1-x^{101}}{1-x}.$
Ответ: $\frac{1-x^{101}}{1-x}.$
Пример 3. В геометрической прогрессии $(b_{n})$ : $\left\{\begin{matrix} b_{1}+b_{3}=10,\\ b_{2}+b_{4}=30. \end{matrix}\right.$
Найти сумму $S_{8}$ восьми первых членов прогрессии.
Решение.
Поскольку $b_{2}=b_{1}q,\; b_{3}=b_{1}q^{2},\; b_{4}=b_{1}q^{3},$
то имеем систему уравнений, равносильную исходной: $\left\{\begin{matrix} b_{1}+b_{1}q^{2}=10,\\ b_{1}q+b_{1}q^{3}=30 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b_{1}(1+q^{2})=10,\\ b_{1}q(1+q^{2})=30. \end{matrix}\right.$
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим $\frac{b_{1}q(1+q^{2})}{b_{1}(1+q^{2})}=\frac{30}{10}\Leftrightarrow q=3.$
Из первого уравнения системы $b_{1}=\frac{10}{1+q^{2}}=\frac{10}{1+3^{2}}=\frac{10}{10}=1.$
Итак, $b_{1}=1,\; q=3.$ По формуле для суммы $n$ первых членов находим