Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Уравнение вида ах² + Ьх + с = 0 (а≠0) называется квадратным уравнением с одной переменной. а — коэффициент при х² (первый коэффициент ), b — коэффициент при х (второй коэффициент), с — свободный член.
Если b≠0, с≠0, то квадратное уравнение называется полным. Если а=1, то квадратное уравнение называется приведенным, если а≠1,— неприведенным. Неприведенное квадратное уравнение всегда можно сделать приведенным, разделив обе части его на первый коэффициент а≠0.

загрузка...

244
— приведенное квадратное уравнение.
Приведенные квадратные уравнения обычно записываются в виде х² + рх + q = 0.
Корни квадратного уравнения можно найти, выделяя полный квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
246
Таким образом, корни квадратного уравнения ах² + Ьх + с = О находят по формуле
248
где D = Ь² - 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения ах² + Ьх + с = 0.
Если D<0, то уравнение ах² + Ьх + с = 0 не имеет действительных корней; если D=0, то
250
и уравнение ах² + Ьх + с = 0 имеет равные корни (в этом случае говорят, что уравнение имеет кратный корень кратности два); если D>0, то уравнение ах² + Ьх + с = 0 имеет два различных действительных корня. Итак,
252
Если b=2k (b — четное число, k є Z), то формулу для нахождения корней можно упростить:
254
Итак, если квадратное уравнение имеет вторым коэффициентом четное число, то имеем уравнение
256
Пример 1. Решить уравнение 2х² -5х + 2=0.
Решение.
Имеем а=2; Ь=-5; с=2 =>
258
260
Ответ: {2; 1/2}.
Пример 2. Решить уравнение 5х² - 18х + 9 = 0.
Решение.
Применяем формулу для нахождения корней квадратного уравнения, когда коэффициент при х — четное число. Имеем а=5; 2k=-18 <=> k=—9; с=9 =>
262
264
Ответ: {3; 3/5}
Пример 3. Решить уравнение х² - 4х +4 - 0.
Решение.
a=1; 2k=-4 <=> k=-2; c=4 =>
266
<=> x1 = х2 = 2.
Ответ: {2}.
Замечание. Уравнение х²-4х + 4 = 0 можно решать без использования формул для решения квадратного уравнения. Заметив, что х² -4х + 4 = (х-2)², получаем х² -4х + 4 = 0 <=> (х-2)² = 0 <=> х-2 = 0 <=> х = 2.
Пример 4. Решить уравнение х² + х + 1 = 0.
Решение.
х²+х + 1 = 0, D = 1²- 4·1·1 = 1- 4=-3 уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: ∅.

Неполные квадратные уравнения

Если второй коэффициент b или свободный член с равны нулю, то квадратное уравнение ах² + Ьх + с = 0 называется неполным. Для отыскания корней неполного квадратного уравнения обычно не пользуются формулами для нахождения корней полного квадратного уравнения, т. к. неполные квадратные уравнения проще решать методом разложения их левой части на линейные множители.
Итак, рассмотрим решение уравнения ах² + Ьх + с = О, когда 1) с=0; 2) Ь=0; 3) Ь=с=0.
268
если c/a > 0, то уравнение не имеет действительных корней.
3) Ь=с=0; ах² = 0 <=> х1 = х2 = 0 (а≠0).
Пример 1. Решить уравнение Зх² -8х = 0.
Решение.
270
Ответ: {0; 8/3}
Пример 2. Решить уравнение 5х² -125 = О.
Решение.
278
280
Ответ: {-5;5}.
Пример 3. Решить уравнение Зх² +11 = 0.
Решение.
276
Ответ: ∅.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: