Касательная и нормаль к плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 35

Касательная и нормаль к плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 35

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат (рис. 1), то уравнения касательной и нормали к ней в точке \displaystyle M(x_{0},y_{0}) имеют вид:

\displaystyle y-y_{0}=y_{0}(x-x_{0});\; y-y_{0}=-\frac{1}{y'_{0}}(x-x_{0}),\; \; (1)


где \displaystyle y'_{0} — значение в точке \displaystyle x_{0} производной \displaystyle \frac{dy}{dx} из уравнения кривой.
Касательная и нормаль к плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 35

Рис.1

Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 2) по формуле

\displaystyle tg\: \varphi =\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}},\; \; (2)


где \displaystyle k_{1} и \displaystyle k_{2} — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения \displaystyle P(x_{0},y_{0}),
Касательная и нормаль к плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 35

Рис.2

т. е. частные значения в точке \displaystyle x_{0} производных от y по x из уравнений этих кривых:

\displaystyle k_{1}=tg\: \alpha _{1}=\left ( \frac{dy_{1}}{dx} \right )_{x=x_{0}};\; k_{2}=tg\: \alpha _{2}=\left ( \frac{dy_{2}}{dx} \right )_{x=x_{0}}.


Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали:
1) к параболе \displaystyle y=x^{2}-4x в точке, где x=1;
2) к окружности \displaystyle x^{2}+y^{2}-2x+4y-3=0 в точках пересечения ее с осью Ox;
3) к циклоиде \displaystyle x=t-\sin t,\: y=1-\cos t в точке, где \displaystyle t=\frac{\pi }{2}.
4) к кривой \displaystyle y=\left | x^{3}-1 \right | в ее угловой точке.
Решение. 1) Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу точки касания x=1, найдем ее ординату y=-3.
Для определения углового коэффициента касательной \displaystyle y'_{0} находим производную от y по x из уравнения параболы и вычисляем ее частное значение в точке x=1:

\displaystyle y'=2x-4;\; y'_{0}=y'(1)=-2.


Подставляя значения \displaystyle x_{0},y_{0} и \displaystyle y'_{0} в общие уравнения (1), получим уравнение касательной
\displaystyle y+3=-2(x-1) или \displaystyle 2x+y+1=0
и уравнение нормали
\displaystyle y+3=\frac{1}{2}(x-1) или \displaystyle x-2y-7=0.
Парабола, касательная и нормаль построены на рис.3.
Касательная и нормаль к плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 35

Рис.3

2) Решая совместно заданное уравнение окружности и уравнение оси Ox, y=0, находим точки их пересечения: \displaystyle A(-1;0),B(3;0) рис.4.
Касательная и нормаль к плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 35

Рис.4

Дифференцируя по x уравнение окружности

\displaystyle 2x+2yy'-2+4y'=0

,
находим производную \displaystyle y'=\frac{1-x}{2+y} и вычисляем ее значения для точек A и B: \displaystyle y'_{A}=1,\: y'_{B}=-1.
Подставляя в общие уравнения (1), получим искомые уравнения касательной и нормали:
для точки A соответственно \displaystyle x-y+1=0 и \displaystyle x+y+1=0;
для точки B \displaystyle x+y-3=0 и \displaystyle x-y-3=0.
3) Подставляя в уравнения циклоиды \displaystyle t=\frac{\pi }{2} находим координаты точки касания: \displaystyle x=\frac{\pi }{2}-1;\: y=1.
Затем определяем производную от y по x из уравнений циклоиды, как от функции, заданной параметрически

\displaystyle y'=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{2\sin ^{2}\frac{t}{2}}=\textrm{ctg}\: \frac{t}{2},


и вычисляем ее значение для точки касания \displaystyle y'_{0}=y'\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1.
Подставляя значения \displaystyle x_{0},y_{0} и \displaystyle y'_{0} в уравнения (1), получим уравнение касательной \displaystyle 2x-2y-\pi +4=0 и уравнение нормали \displaystyle 2x+2y-\pi =0.
4) Найдем производную y' и затем угловую точку данной кривой из условия, что для этой точки производная y' не существует, но существуют различные односторонние производные:

\displaystyle y'=\left | x^{3}-1 \right |'=\pm 3x^{2},


где плюс соответствует интервалу

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

одиннадцать − три =