Непосредственное нахождение производной. Практикум по математическому анализу. Урок 25

Для непосредственного нахождения производной \displaystyle y' от функции \displaystyle y=f(x) служит следующее общее правило.
I. Придаем аргументу x произвольное приращение \displaystyle \Delta x и, подставляя в данное выражение функции вместо x наращенное значение \displaystyle x+\Delta x находим наращенное значение функции:

\displaystyle y+\Delta y=f(x+\Delta x)

.
загрузка...

II. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции

\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

.
III. Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составляем отношение

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.


IV. Ищем предел этого отношения при \displaystyle \Delta x\rightarrow 0. Этот предел и даст искомую производную \displaystyle y' от функции \displaystyle y=f(x).
Пример 1. Путем вычисления предела \displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x} найти производные следующих функций:
1) \displaystyle y=3x^{2}-4x; 2) \displaystyle y=\frac{1}{x}; 3) \displaystyle y=\sqrt{x}; 4) \displaystyle y=\cos 3x.
Решение: Руководствуясь указанным общим правилом для непосредственного нахождения производной, последовательно находим:
1) Для функции \displaystyle y=3x^{2}-4x:
I) \displaystyle y+\Delta y=3(x+\Delta x)^{2}-4(x+\Delta x)=3x^{2}+6x\Delta x+3\Delta x^{2}-4x-4\Delta x;
II) \displaystyle \Delta y=(3x^{2}+6x\Delta x+3\Delta x^{2}-4x-4\Delta x)-(3x^{2}-4x)=6x\Delta x+3\Delta x^{2}-4\Delta x;
III) \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6x\Delta x+3\Delta x^{2}-4\Delta x}{\Delta x}=6x+3\Delta x-4;
IV) \displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}(6x+3\Delta x-4)=6x-4.
Следовательно, \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d(3x^{2}-4x)}{dx}=6x-4.
2) Для функции \displaystyle y=\frac{1}{x}:
I) \displaystyle y+\Delta y=\frac{1}{x+\Delta x};
II) \displaystyle \Delta y=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=-\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)};
III) \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)};
IV) \displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\left ( -\frac{1}{x(x+\Delta x)} \right )=-\frac{1}{x^{2}}.
Следовательно, \displaystyle \left ( \frac{1}{x} \right )'=-\frac{1}{x^{2}}.
3) Для функции \displaystyle y=\sqrt{x}:
I) \displaystyle y+\Delta y=\sqrt{x+\Delta x};
II) \displaystyle \Delta y=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x};
III) \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x};
IV) \displaystyle y'=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
4) Для функции \displaystyle y=\cos 3x:
I) \displaystyle y+\Delta y=\cos 3(x+\Delta x);
II) \displaystyle \Delta y=\cos 3(x+\Delta x)-\cos 3x=-2\sin \left ( 3x+\frac{3}{2}\Delta x \right )\sin \frac{3}{2}\Delta x;
III) \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{2\sin \left ( 3x+\frac{3}{2}\Delta x \right )\sin \frac{3}{2}\Delta x}{\Delta x};
IV) \displaystyle y'= \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-2\underset{\Delta x \to 0}{lim}\sin \left ( 3x+\frac{3}{2}\Delta x \right )\cdot \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\sin \frac{3}{2}\Delta x}{\Delta x}=
\displaystyle =-2\sin 3x\cdot \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\frac{3}{2}\Delta x}{\Delta x}=-2\sin 3x\cdot\frac{3}{2}=-3\sin 3x.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: