Производная функции и её геометрическое значение. Практикум по математическому анализу. Урок 24

Производной функции $\displaystyle y=f(x)$ называется предел отношения ее приращения $\displaystyle \Delta y$ к соответствующему приращению $\displaystyle \Delta x$ независимой переменной, когда $\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$:

$$\displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. \; (*)$$

Производная обозначается $\displaystyle y'$ или $\displaystyle f'(x)$, или $\displaystyle \frac{dy}{dx}$.
Нахождение производной называется дифференцированием.
Геометрически производная $\displaystyle y'$ функции $\displaystyle y=f(x)$ представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (рис.1):
$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=tg\: \beta ;\; y'=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\beta \to \alpha }{lim}\: tg\: \beta=tg\: \alpha .$

Рис.1

Функция называется дифференцируемой в некоторой точке $x$, если в этой точке она имеет определенную производную, т. е. если предел (*) существует и имеет одно и то же значение при $\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$ любым способом; при этом функция будет и непрерывной в этой точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное) условие дифференцируемости функции. Функция, непрерывная в некоторой точке $x$, может быть и недифференцируемой в этой точке.
Простейшие случаи недифференцируемости непрерывной функции $\displaystyle y=f(x)$ изображены на рис.2.

Рис.2

В точке $a$ при $\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$ отношение $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ не имеет предела, но имеет различные односторонние пределы при $\displaystyle \Delta x\rightarrow -0$ и $\displaystyle \Delta x\rightarrow +0$, которые называются односторонними (левой и правой) производными:

$\displaystyle \underset{\Delta x \to -0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(-)$ и $\displaystyle \underset{\Delta x \to +0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(+)$.

В соответствующей точке графика функции нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами:
$\displaystyle k_{1}=y'(-)$ и $\displaystyle k_{2}=y'(+)$ (угловая точка).
В точках $b$ и $\displaystyle b_{1}$ при $\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$ отношение $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ является знакопостоянной бесконечно большой величиной:
$\displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\infty$ (или $\displaystyle +\infty$).
В этом случае говорят, что функция имеет бесконечную производную. В соответствующих точках график функции имеет вертикальную касательную (точки перегиба с вертикальной касательной).
В точке с односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В соответствующей точке график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (точка возврата с вертикальной касательной, частный случай угловой точки).
В точках $\displaystyle a,b,b_{1}$ и $c$ функция $\displaystyle y=f(x)$ непрерывна, но не дифференцируема.
Для непосредственного нахождения производной $\displaystyle y'$ от функции $\displaystyle y=f(x)$ служит следующее общее правило.
I. Придаем аргументу $x$ произвольное приращение $\displaystyle \Delta x$ и, подставляя в данное выражение функции вместо $x$ наращенное значение $\displaystyle x+\Delta x$ находим наращенное значение функции:

$$\displaystyle y+\Delta y=f(x+\Delta x)$$

.
II. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции

$$\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$

.
III. Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составляем отношение

$$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

IV. Ищем предел этого отношения при $\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$. Этот предел и даст искомую производную $\displaystyle y'$ от функции $\displaystyle y=f(x)$.