Непрерывность и точки разрыва функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 23

Пример 1. Для каждой из следующих функций найти точки разрыва, если они существуют, найти скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:
1) \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}x^{2},\: if\: x\leq 2,\\ x,\: if\: x>2; \end{matrix}\right.
2) \displaystyle \varphi (x)=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x},\: if\: 0\leq x\leq 1,\\ 4-2x,\: if\: 1<x<2,5,\\ 2x-7,\: if\: 2,5\leq x<+\infty ; \end{matrix}\right.

загрузка...

3) \displaystyle F(x)=\left\{\begin{matrix} 2x+5,\: if\: -\infty <x<-1,\\ \frac{1}{x},\: if\: -1\leq x<+\infty . \end{matrix}\right. Решение. 1) Функция f(x) определена на всей числовой оси. Но из этого не следует, xто она и непрерывна на всей числовой оси, так как эта функция неэлементарная; она задана двумя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента x и может иметь разрыв в точке x=2, где меняется ее аналитическое выражение.
Исследуя точку находим односторонние пределы функции при стремлении аргумента к этой точке слева и справа:
\displaystyle \underset{x \to 2-0}{\textrm{lim}}f(x)=\underset{x \to 2-0}{\textrm{lim}}\left ( -\frac{1}{2} x^{2}\right )=-2,
так как слева от точки x=2 функция \displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^{2};
\displaystyle \underset{x \to 2+0}{\textrm{lim}}f(x)=\underset{x \to 2+0}{\textrm{lim}}x=2,
так как справа от точки x=2 функция \displaystyle f(x)=x.
Левый и правый пределы функции конечны, но не равны между собой. Поэтому, вследствие невыполнения 2-го условия непрерывности, в точке x=2 функция имеет разрыв (конечный).
В этой точке разрыва функция имеет конечный скачок:
\displaystyle \underset{x \to 2+0}{\textrm{lim}}f(x)-\underset{x \to 2-0}{\textrm{lim}}f(x)=2-(-2)=4.
Во всех остальных точках числовой оси функция f(x) непрерывна, так как обе формулы, которыми она задана, определяют собой элементарные непрерывные функции.

Рис.1

График этой функции показан на рис.1.
2) Неэлементарная функция \displaystyle \varphi (x) определена для всех значений \displaystyle x\geq 0. Она может иметь разрыв в точках x=1 и x=2,5, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция \displaystyle \varphi (x) непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента x.
Исследуем точки x=1 и x=2,5:
a) \displaystyle \underset{x \to 1-0}{\textrm{lim}}\varphi (x)=\underset{x \to 1-0}{\textrm{lim}}2\sqrt{x}=2;\: \underset{x \to 1+0}{\textrm{lim}}\varphi (x)=\underset{x \to 1+0}{\textrm{lim}}(4-2x)=2.
Согласно условию значение функции \displaystyle \varphi (x) в точке x=1 определяется первой формулой

\displaystyle \varphi (1)=2\sqrt{1}=2.
Следовательно, в точке x=1 выполняются все условия непрерывности: функция определена в окрестности точки x=1 и
\displaystyle \underset{x \to 1-0}{\textrm{lim}}\varphi (x)=\underset{x \to 1+0}{\textrm{lim}}\varphi (x)=\varphi (1).
Поэтому в точке x=1 функция \displaystyle \varphi (x) непрерывна.
б) \displaystyle \underset{x \to 2,5-0}{\textrm{lim}}\varphi (x)=\underset{x \to 2,5-0}{\textrm{lim}}(4-2x)=-1;\; \underset{x \to 2,5+0}{\textrm{lim}}\varphi (x)=\underset{x \to 2,5+0}{\textrm{lim}}(2x-7)=-2.
Здесь левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, т. е. не выполняется 2-е условие непрерывности.

Рис.2

Поэтому в точке x=2,5 функция имеет разрыв (конечный), рис.2. Скачок функции в точке разрыва конечный:
\displaystyle \underset{x \to 2,5+0}{\textrm{lim}}\varphi (x)-\underset{x \to 2,5-0}{\textrm{lim}}\varphi (x)=-2-(-1)=-1.
3) Неэлементарная функция F(x) определена на всей числовой оси, кроме точки x=0. Это значит, что в точке x=0 функция разрывна. Исследуем эту точку:
\displaystyle \underset{x \to -0}{\textrm{lim}}F(x)=\underset{x \to -0}{\textrm{lim}}\frac{1}{x}=-\infty,\; \underset{x \to +0}{\textrm{lim}}F(x)=\underset{x \to +0}{\textrm{lim}}\frac{1}{x}=+\infty.
Следовательно, в точке x=0 функция F(x) имеет бесконечный разрыв.
Исследуем далее точку x=-1. Поскольку функция F(x) неэлементарная, она может иметь разрыв в этой точке, где меняется ее аналитическое выражение:
\displaystyle \underset{x \to -1-0}{\textrm{lim}}F(x)=\underset{x \to -1-0}{\textrm{lim}}(2x+5)=3,\; \underset{x \to -1+0}{\textrm{lim}}F(x)=\underset{x \to -1+0}{\textrm{lim}}\frac{1}{x}=-1.
Найденные односторонние пределы функции конечные, но различные. Поэтому в точке x=-1 функция имеет конечный разрыв; ее конечный скачок в этой точке равен
\displaystyle \underset{x \to -1+0}{\textrm{lim}}F(x)-\underset{x \to -1-0}{\textrm{lim}}F(x)=-4.
Во всех остальных точках числовой оси функция F(x) непрерывна; ее график показан на рис.3.

Рис.3


Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • Одноклассники
  • Яндекс.Закладки
  • Blogger
  • RSS
  • Блог Я.ру
  • Сто закладок
  • Блог Li.ру
  • Yahoo! Bookmarks
  • БобрДобр
  • MySpace
  • Reddit
  • FriendFeed
  • В закладки Google
  • Google Buzz
  • LinkedIn
  • StumbleUpon
  • Technorati
  • del.icio.us
  • Digg
  • MisterWong.RU
  • Memori.ru
  • МоёМесто.ru
  • 豆瓣
  • 豆瓣九点

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×